Лінійні рівняння з модулем та параметром

 

Олімпіада магічних головоломок

Практична робота. Табуляція квадратичної функції

відео-урок: Квадратний тричлен: 
https://www.youtube.com/watch?v=SmDzWE6DcjQ


Приклад. Дано графіки квадратичної  функції

f(x) = ax²+ bx+ c, де a¹0

та лінійної  функції 

g(x) = kx+l

в прямокутній системі координат хОу.

Чи можна за допомогою циркуля та лінійки виконати побудову  різниці графіків  f(x) - g(x)?

Розв’язання. Якщо утворити різницю

R(x) = f(x) - g(x) = ax²+ bx+ c – kx - l  = ax²+ (b-k)x + (c-l),

то отримаємо квадратичну функцію R(x), у якої на відмінну від квадратичної функції f(x) змінилися параметри лінійної частини.  

Зазначимо такі властивості параметрів квадратичної функції.

1.    При зміні параметра а ( параметри b та  c не змінюються) в формулі квадратичної функції, графік параболи деформується прямокутній системі координат хОу  відносно власної осі симетрії(вітки параболи звужуються (½а½> 1  ) до осі симетрії, або розтягуються (½а½£ 1  )  від осі симетрії).

2.     При додатному значенні параметра а – обидві вітки квадратичної параболи напрямлені вгору. При від’ємному значенні параметра а – обидві  вітки квадратичної параболи напрямлені вниз.

3.    При зміні двох лінійних параметрів b та  c ( параметр  а    не змінюються) квадратичної функції f(x) = ax²+ bx+ c в прямокутній системі координат хОу  переміщується вісь симетрії параболи(графік не деформується по відношенню до власної осі симетрії),  тобто,  переміщується  вершина ( Х_f; Y_f ) параболи

f(x) = ax²+ bx+ c

в нову вершину ( Х_r; Y_r )  параболи

R(x) = ax²+ (b-k)x + c-l.

Знайдемо координати вершини ( Х_f; Y_f ) параболи f(x) = ax²+ bx+ c:

Х_f = - b/(2a);

Y_f = a(- b/(2a)  )²+ b(- b/(2a)  )+ c = -b²/4a + c.

Знайдемо координати вершини ( Х_r; Y_r )  параболи R(x) = ax²+ (b-k)x + (c-l) та дізнаємося як перемістилися ці координати в прямокутній системі координат хОу по відношенню до вершини ( Х_f; Y_f ):

Х_r=( k- b)/(2a) = Х_f + k/2a;

Y_r = a(( k- b)/(2a))²+ (b –k) (( k- b)/(2a))+ c- l =

=  -(b-k)²/4a + c-l= (- b²+ 2bk - k²)/4a    + c- l =

= Y_f +(2bk - k²)/4a   - l .

Звідси отримали таке переміщення двох вершин  парабол:

( Х_r; Y_r ) ® (Х_f + k/2a ; Y_f +(2bk - k²)/4a   - l ).

За властивістю переміщення можна рухати не вершину ( Х_f; Y_f ) параболи f(x) = ax²+ bx+ c, а  рухати осі   координат. Отже, досить циркулем та лінійкою виконати паралельне перенесення координатних осей в точку:

                                      (-k/2a;  - (2bk - k²)/4a   - l ).

Відповідь: можна.

Запитання. Як виводяться формули коренів квадратного рівняння?
Відповідь: Виконаємо такі тотожні перетворення квадратного рівняння:

Запитання. Як знаходять суми числових рядів для даних послідовностей?
Відповідь: Використовують відомі формули:

  Алгоритм табуляції властивостей  квадратних поліномів на мові Pascal

Завдання 1. Скласти і реалізувати алгоритм  для знаходження   табулювання значень квадратичної функції, що задана рекурсивною формулою 

у=(а₁х+а₂)х+а₃= а₁х²+а₂х+а₃.

program  Quadratfunction;                     {назва    алгоритму  табуляції}

var  a1, a2, a3, x, y, d, x1, x2,y1: real;      i, k: integer;     {оголошення  змінних: дійсні числа та цілі числа}

begin           {початок   виконання алгоритму і введення випадкових коефіцієнтів  квадратичної функції}

 a1:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 1+random(3) ;   

writeln( ' Якщо cтарший коефіцієнт квадратичної функції a1=', a1); writeln;

a2:=2+random(7) *(-1+random(3)); 

writeln(' Якщо лінійний коефіцієнт квадратичної функції a2=', a2); writeln;

a3:= (4+random(10))*(-1)*(-1+random(3));

writeln(' Якщо вільний коефіцієнт квадратичної функції:  y(0)=a3=', a3); writeln;

writeln(' Якщо cума коефіцієнтів квадратичної функції:  y(1)=a1+a2+a3=', a1+a2+a3); writeln;

x:=-(1+random(20));  writeln(' Якщо початковий аргумент квадратичної функції x=', x); writeln;

d:=1+random(3);  writeln( ' Якщо величина кроку табуляції  квадратичної функції d=', d); writeln;

k:=5+random(8);  writeln( ' Якщо кількість кроків табуляції k=', k); writeln;

for i:=1 to k do begin       {виконання циклу з лічильником по kрокам для обчислення  значень функції}

x:=x+(i-1)*d;    y:=(a1*x+a2)*x+a3;       { виведення результатів табулювання на  екран монітора}

writeln( ' номер кроку табуляції  i=', i,  ' аргумент функції  х=', x, ' значення функції  y=', y); writeln; end; writeln('********'); writeln( ' квадратична функція має вигляд у=', a1,  '*x*x+( ' ,  a2,  ' )x+( ',  a3,  ' )' );  

d:=a2*a2-4*a1*a3;

 if (d>0)  or (d=0)  then   {обчислення  дискримінанта  перевірка  його знаку  для квадратичної функції}

begin   x:=0.5*(-a2-sqrt(d))/a1;  y:=abs((a1*x+a2)*x+a3);   x1:=x;   {обчислення  першого нуля квадратичної функції}

writeln( ' перший наближений  нуль квадратичної функції  х1=', x, 'з абсолютною похибкою ',y); writeln;

x:=0.5*(-a2+sqrt(d))/a1;   y:=abs((a1*x+a2)*x+a3);  x2:=x;{ {обчислення  другого нуля квадратичної функції}

writeln( ' другий наближений нуль квадратичної функції  х2=', x, 'з абсолютною похибкою ',y); writeln; end 

else   writeln( ' немає нулів квадратична функція');

x:=0.5*(-a2)/a1;  y:=(a1*x+a2)*x+a3;   y1:=y;                              {обчислення  координат вершини параболи  }

if (a1>0)  then                         {оголошення  мінімуму  квадратичної функції як координат вершини параболи}

   writeln( 'гілки параболи напрямлені вгору,  мінімум квадратичної функції якщо  Хmin=', x, '  та Уmin= ',y) 

else                                          {оголошення  максимуму  квадратичної функції як координат вершини параболи}

writeln( 'гілки параболи напрямлені вниз,   максимум квадратичної функції якщо  Хmах=',x, '  та Уmах= ',y); writeln; 

writeln( 'вісь симетрії графіка параболи  це вертикальна пряма лінія: Хвісь=', -0.5*a2/a1); writeln;

if (a1>0)  then  writeln(' функція зростає, якщо  Х>', -0.5*a2/a1); writeln; 

if (a1>0)  then  writeln(' функція спадає, якщо  Х<', -0.5*a2/a1); writeln; 

if (a1>0) and (d>0)  then  writeln(' функція додатна, якщо  Х<', x1, ' та Х>', x2); writeln; 

if (a1>0) and (d>0)   then  writeln(' функція відємна, якщо  ХЄ(', x1, ' ;', x2, ') ' ); writeln; 

if (a1<0) and (d>0)   then  writeln(' функція відємна, якщо  Х<', x1, ' та Х>', x2); writeln; 

if (a1<0) and (d>0)   then  writeln(' функція додатна, якщо  ХЄ(', x1, ' ;', x2, ') ' ); writeln; 

if (a1<0)  then  writeln(' функція зростає, якщо  Х<', -0.5*a2/a1); writeln; 

if (a1<0)  then  writeln(' функція спадає, якщо  Х>', -0.5*a2/a1); writeln;

if (a2=0)  then  writeln( 'Квадратична функція  у=', a1,  '*x*x+( ' ,  a2,  ' )x+( ',  a3,  ' ) парна.') else  

writeln( 'Квадратична функція  у=', a1,  '*x*x+( ' ,  a2,  ' )x+( ',  a3,  ' ) ні парна, ні непарна.'); writeln; 

writeln( 'Обернена функція до першої гілки параболи квадратичної функції:  у1=+((x-(', y1,  '))/ (',  a1, '))^0.5 +(',  -0.5*a2/a1, ')'); writeln; 

writeln( 'Обернена функція до другої гілки параболи квадратичної функції:  у2=-((x-(', y1,  '))/( ',  a1, '))^0.5 +(',  -0.5*a2/a1, ')'); writeln; 

writeln( ' Немає перегинів випуклих ділянок квадратична функція');

   end.   {закінчення алгоритму}

Протестуйте алгоритм  чотири рази та порівняйте результати табуляції і виберіть той варіант, при якому можна знайти найточніше наближення   нулів квадратичної функції, тобто випадок y:=(a1*x+a2)*x+a3=0.       

Алгоритм табуляції властивостей  кубічних поліномів на мові Pascal

Завдання 2. Скласти і реалізувати алгоритм  для знаходження   табулювання значень кубічної функції, що задана рекурсивною формулою у=((а₁х+а₂)х+а₃)х+a₄.

program  Cubesfunction;                     {назва    алгоритму  табуляції}

var  a1, a2, a3, a4,  x, y, d: real;      i, k: integer;     {оголошення  змінних величин: дійсні числа та цілі числа}

begin           { початок   виконання алгоритму і введення випадкових коефіцієнтів  кубічної функції}

 a1:=1+random(3); 

writeln( ' Якщо cтарший коефіцієнт кубічної функції a1=', a1); writeln;

a2:=2+random(7);  

writeln(' Якщо квадратичний коефіцієнт кубічної функції a2=', a2); writeln;

a3:=-(4+random(10));

  writeln(' Якщо лінійний коефіцієнт кубічної функції a3=', a3); writeln;

a4:=-(3+random(10)); 

writeln(' Якщо вільний коефіцієнт кубічної функції a4=', a4); writeln;

x:=-(1+random(20)); 

writeln(' Якщо початковий аргумент кубічної функції x=', x); writeln;

d:=1+random(3);  

writeln( ' Якщо величина кроку табуляції  кубічної функції d=', d); writeln;

k:=15+random(5);

  writeln( ' Якщо кількість кроків табуляції k=', k); writeln;

for i:=1 to k do begin       {виконання циклу з лічильником по kрокам для обчислення  значень функції}

x:=x+(i-1)*d;    y:=((a1*x+a2)*x+a3)+a4;       { виведення результатів табулювання на  екран монітора}

writeln( ' номер кроку табуляції  i=', i,  ' аргумент функції  х=', x, ' значення функції  y=', y);

 writeln;

end; 

writeln('********');

 end.   {закінчення алгоритму}

Протестуйте алгоритм  чотири рази та порівняйте результати табуляції і виберіть той варіант, при якому можна знайти найточніше наближення   нулів кубічної функції, тобто випадок ((a1*x+a2)*x+a3)*x+a4=0.      


Алгоритми інтерполяції квадратними поліномами

Практична робота 20. «Алгоритми інтерполяції квадратними поліномами трьох точкової статистики на мові Pascal»

Завдання 1. Створити алгоритм який за трьома відомими точками в прямокутній  системі координат генерує формулу квадратичної функції використовуючи розв’язання  системи 3-х рівнянь з трьома невідомими методом Крамера. Ця задача називається «інтерполяція квадратичними поліномами» або знаходження «квадратичного тренду».

Розв’язання.  Випадковим чином задаються три точки деякої статистики:  (х1; у1), (х2; у2), (х3; у3). Вважається, що ці три точки належать деякій параболі,  що записується  формулою вигляду: у=ах²+bx+c.  Підставляємо кожну точку у формулу і отримуємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими а, b, c. 

{| aх1*х1 + bх1 + c * 1 = y1 | }

{| aх2*х2 + bх2 + c * 1 = y2 }

{| aх3*х3 + bх3 + c * 1 = y1 }

Розв’язуємо систему відносно  а, b, c  за допомогою метода визначників (метод Крамера).

Program  Interpoljacia;

var a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, x, y, z, e, ex, ey, ez, x1, x2, x3, y1, y2, y3: real;

begin

x1:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 1+random(3) ; 

y1:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 2+random(3) ;   

writeln( ' Якщо перша точка, що належить квадратичній функції х1=', x1, 'y1=', y1); writeln;

x2:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 1+random(3) ; 

y2:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 3+random(3) ;   

writeln( ' Якщо друга точка, що належить квадратичній функції х2=', x2, 'y2=', y2); writeln;

x3:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 1+random(3) ; 

y3:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 4+random(3) ;   

writeln( ' Якщо третя точка, що належить квадратичній функції х3=', x3, 'y3=', y3); writeln;

a1:= x1*x1;    a2:= x2*x2;  a3:= x3*x3;   b1:= x1;    b2:= x2;  b3:= x3;  c1:=1;    c2:=1;  c3:=1;

d1:=y1;   d2:=y2;  d3:=y3;

 e:= (a1 * b2 * c3 + b1 * c2 * a3 + c1 * a2 * b3-a3 * b2 * c1-b3 * c2 * a1-c3 * a2 * b1);

 ex:=(d1 * b2 * c3 + b1 * c2 * d3 + c1 * d2 * b3-d3 * b2 * c1-b3 * c2 * d1-c3 * d2 * b1);

 ey:=(a1 * d2 * c3 + d1 * c2 * a3 + c1 * a2 * d3-a3 * d2 * c1-d3 * c2 * a1-c3 * a2 * d1);

 ez:=(a1 * b2 * d3 + b1 * d2 * a3 + d1 * a2 * b3-a3 * b2 * d1-b3 * d2 * a1-d3 * a2 * b1);

 if (e=0) and ((ex=0) or (ey=0) or (ez=0)) then

    writeln ( 'безліч рішень')

 else if (e <> 0) and ((ex = 0) or (ey = 0) or (ez = 0)) then

    writeln ( 'немає рішень')

 else begin

    x:=ex/e;     y:=ey/e;     z:=ez/e;

writeln ( 'Головний визначник е =', e);writeln ( 'a =', x); writeln ( 'b =', y); writeln ( 'c =', z);

writeln( ' Шукана квадратична функція  у=', x,  '*x*x+( ' ,  y,  ' )x+( ',  z,  ' ) ');  end; end.