Компетентнісні завдання з алгебри
Зведення до квадратів
Задачі завгоспа
Оленка
досліджує многочлени на можливість їх
запису у вигляді повних квадратів. Перевірте,
чи правильно вона отримала результати свого дослідження.
Завдання.
1)
Чи
вірно, що ax2 + bx + c=m(x-k)2+p(x-q)2?
2) Чи вірно, що ax2
+ bx + c=m(x-k)2+p(x-q)2 +u(x-v)2?
3)
Чи
вірно, що (х – m)(х – m - 2) + 1 = (х – m - 1)2?
4)
Чи
вірно, що 1+ (n-1)n(n+1)(n+2)=(n2+n-1)2?
5)
Чи
вірно, що (х-а)(х-(а+1))(х-(а+2))(х-(а+3))+1 = ((х2-(а +4)х+ (а+4))2?
6) Чи вірно, що 16+(n-2)n(n+2)(n+4)=(n2 + 2n- 4)2 ?
7)
Чи
вірно, що 81+(n-3)n(n+3)(n+6)=(n2 + 3n- 9)2?
8)
Чи вірно, що 256+(n-4)n(n+4)(n+8)=(n2 + 4n- 16)2?
9)
Чи
вірно, що k4+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n2 + kn- k2)2?
10)
Чи
вірно, що k4+(n+k)(n+2k)(n+3k)(n+4k)=(n2 +
5kn+5k2)2?
11) Чи вірно, якщо m+k=p+q, тоді
|mkpq-(0,5km+0,5pq)2|+(x+k)(x+m)(x+p)(x+q))=
=(x2 - (k+m)x+0,5km+0,5pq)2?
Унікальні тотожності
Тетяна
досліджує многочлени. І хвалиться тим,
що вивела унікальні тотожності у множині многочленів. Перевірте, чи правильно вона отримала
результати свого дослідження.
Завдання
1)
Чи
вірно, що 1=0,25(m2+1)2 - 0,25(m2-1)2?
2)
Чи
вірно, що m=(m+0,25)2 - (m-0,25)2?
3)
Чи
вірно, що m2=0,25(m2-1)2+0,25(m2+1)2
?
4)
Чи
вірно, що m2=0,25(m2+1)2-0,25(m2-1)2
?
5)
Чи
вірно, що mn=0,25(mn+1)2-0,25(mn-1)2
?
Задачі завгоспа
Інженер дядя Вова завідує господарством у ремонтному цеху
на заводі. Йому частенько випадає нагода проявити кмітливість і практичність у
своїй роботі. Одного разу він вирішив занотувати усі практичні задачі, які він
розв’язував на своїй роботі, щоб потім запропонувати їх своїм внукам.
Допоможіть внукам своєю кмітливістю і
практичністю.
Завдання.
1) Маємо 10 замків і 10 ключів до
них. Скількома випробуваннями можна встановити відповідність між ключами і
замками ?
2) У витесану плоску дошку об’яв
було забито 5 різних цвяхів на одній прямій. Скільки
відрізків визначають ці цвяхи на дошці(вважати, що шапочка цвяха на дошці – це кінець
відрізка)?
3) У витесану плоску дошку об’яв було
забито 8 різних цвяхів, але ніякі три з
них не лежать на одній прямій. Через кожні дві точки проведено пряму. Скільки
таких прямих можна провести?
4) У цеху є лише столи на чотирьох залізних ніжках та табуретки
на трьох залізних ніжках, які легко
відкручуються. Вчора усіх столів та табуреток було 225, а усіх
залізних ніжок 750. Скільки вчора у цеху було окремо столів і окремо табуреток?
5) Скільки можна скласти різних
видів ланцюжків, маючи два мідних кільця
та три алюмінієвих кільця, якщо кожний ланцюжок може містити тільки 5
кілець?
6) Графік чергування у цеху
розкреслений на квадраті, на 25 рівних клітинок. Кожна із букв А, В, С,
Д, Е означає бригади, що працюють у цеху. Необхідно кожну із букв А, В, С, Д, Е
поставити у ці клітинки 4 рази таким
чином, щоб на будь-якій горизонталі, будь-якій вертикалі і двох великих
діагоналях не було однакових букв.
7) Частина клітинок клітчатого
паперу пофарбовано у жовтий колір, останні клітинки пофарбовані у блакитний колір
(не обов’язково у шаховому порядку). По
жовтим клітинкам стрибає коник, а по блакитним стрибає блоха, при цьому кожний
стрибок робиться на будь-яку відстань по вертикалі або по горизонталі. Довести,
що коник і блоха зможуть виявитися рядом, зробивши у загальному випадку не
більше трьох стрибків.
8) У підсобці завгоспа ремонтного цеху розташовано 6
лампочок, причому до кожної з них
відведено свій вимикач. Скільки існує можливостей освітлювати підсобку, якщо для цього повинно бути
увімкнена хоча б одна лампочка?
9) Скільки існує трицифрових
чисел, у яких парні і непарні цифри чергуються?
10) 150 робітників цеху
вишикувані у шеренгу. Чи завжди можна поставити їх по росту, якщо дозволяється переставляти будь яких двох
чоловіків, що стоять тільки через одного?
11) Бригадир у цеху заповнює
таблицю відвідування на дошці об’яв. У кожну клітинку квадрата розміром 6х6
клітинок він записує одне з чисел -1, 0, 1 , що означає відповідно, робітник був відсутній, робітник простоював,
робітник працював. Чи можуть суми чисел, які записані в кожному рядку , у кожному стовпчику і по двох великих діагоналях , бути
різними у цьому квадраті?
Властивості квадратного тричлена
Вадим досліджує рівноприскорені процеси в економіці, що
діють протягом обмеженого проміжку часу. Його в основному цікавлять екстремальні стани
економічного рівноприскореного розвитку або спаду в даний період. Вадим описує ці процеси за
допомогою квадратних тричленів ax2 + bx + c, коефіцієнти яких обчислює із статистичних даних.
Допоможіть Вадиму виконати наступні завдання.
Завдання.
1)
Чи вірно, що будь-який квадратний тричлен можна записати
у вигляді:
ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)?
3)
Чи вірно, що будь-який квадратний тричлен можна записати
у вигляді:
ax2 + bx + c = а(х - 0,5b:a)2 – 0,25D:a?
ax2 + bx + c = а(х - 0,5b:a)2 – 0,25D:a?
5)
Чи вірно, що будь-який квадратний тричлен однозначно
задається трьома точками в прямокутний системі координат за допомогою трьох значень: (х1; у1), (х2; у2), (х3; у3)?
6)
Чи вірно, що будь-який квадратний тричлен однозначно
задається трьома числами: а – найстаршим коефіцієнтом, та двома нулями: х1
та х2?
7)
Чи вірно, що будь-який квадратний тричлен має або тільки найбільше
або тільки найменше значення?
8)
Що характеризує дискримінант квадратного тричлена?
9)
Як впливає на графік квадратного тричлена дискримінант?
10)
Як впливає на графік квадратного тричлена коефіцієнт а?
11)
Як впливає на графік квадратного тричлена лінійний коефіцієнт
b?
12)
Як впливає на графік квадратного тричлена вільний член с?
13)
Як впливає на графік квадратного тричлена ax2 + bx + c корінь
квадратного тричлена?
14)
Чи вірно, що вісь симетрії параболи проходить через абсцису
її вершини?
15)
Чи вірно, що абсциса вершини дорівнює середньому
арифметичному коренів квадратного тричлена?
Дослідження подільності чисел
Дослідження подільності чисел
Аліса
досліджує властивості натуральних чисел для того щоб навчитися швидко виконувати дії у
числових виразах. Допоможіть Алісі міркувати над завданнями:
Завдання:
Якщо k –
натуральне число.
1)
Чи можна
усі натуральні числа записати так: 5k-2, 5k-1, 5k, 5k+1, 5k+2?
2)
Чи можна
усі натуральні числа записати так: 6k-3, 6k-2, 6k-1, 6k, 6k+1, 6k+2?
3)
Чи
вірно, що окрім 2 та 3, прості числами можуть
бути записані
у вигляді: 6k-1 та 6k+1, якщо k –
натуральне число.
4)
Чи можна
вважати вірним, що вираз аb(а
± b)=2k – це парне число, якщо усі змінні є цілими числами?
5)
Чи можна
вважати вірним, що вираз аb(а4
–b4)=30k?
6)
Чи можна
вважати вірним, що вираз n5 –n =5k; при цьому якщо НСД(n;5)=1, тоді n5 –n
=30k?
7)
Чи можна
вважати вірним, що вираз n7 –n =7k?
8)
Чи можна
вважати вірним, що вираз n2 + m2 + r2+1=8k?
9)
Чи можна
вважати вірним, що вираз (2k+1)2 –(2n-1)2
=8k?
10)
Чи можна
вважати вірним, що вираз n(n+1)= 2k, тобто, добуток двох
послідовних цілих чисел завжди парне число?
11)
Чи можна
вважати вірним, що вираз (n+2)(n+1)n = 3k, тобто, добуток трьох
послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло?
12)
Чи можна
вважати вірним, що вираз (n-1)n(n+1) = 6k, тобто, добуток трьох
послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло?
13)
Чи можна
вважати вірним, що вираз (n-1)n(n+1)(n+2) = 12k тобто, добуток трьох
послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло?
14)
Чи можна
вважати вірним, що вираз (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5k=120k, тобто, добуток п’яти
послідовних цілих чисел завжди ділиться на 120 націло?
15)
Якщо
n –
натуральне число, що має непарний
дільник, то число
вигляду 2n
+1 складене число.
16)
Якщо
n –
натуральне число, то число вигляду n8+4 - складене
число.
17)
Якщо
n –
натуральне число, то число вигляду n8+ n4+1 - складене число.
18)
Якщо
n –
натуральне число, то число вигляду n4m+ n2m+1 - складене число.
Цілі рівняння
Андрійко
вважає, що найкращий спосіб
розв’язування цілих рівнянь – це розклад лівої частини на множники, після чого кожний множник прирівнювати до нуля.
Допоможіть Андрійку обчислювати та знаходити корені рівнянь, міркуючи над завданнями.
Завдання
1)
Знайти
середнє арифметичне коренів рівняння 1/х4-1/х2=0.
2)
Знайти
найменший із коренів рівняння 5/х3-2/х2=0.
3)
Знайти
суму коренів рівняння16/х4-4/х2 = 0.
4)
Знайти
суму квадратів рівняння 81/х8-16/х4=0.
5)
Знайти
квадрат суми коренів рівняння 81х6-16х2
= 0.
6)
Знайти
найбільший із коренів рівняння |1/х|3-1/|х|2 = 4.
7)
Знайти
найменший із коренів рівняння (х2-6|х|+9)2 -(х2+4|х|+4)2 = 0.
8)
Знайти
найменший із коренів рівняння (|х|3+2х2-9|х|-18)2 = 0.
9)
Знайти
найменший із коренів рівняння (х2-2|х|+2)4 +(х2+3|х|-4)2 = 0.
10)
Знайти
найбільший із коренів рівняння (х2-6|х|+5)12+(х2+4|х|+5)6 =0.
11)
Знайти
добуток коренів рівняння (4х2-11|х|+6)8 +(4х2-5|х|-6)10 =0.
12)
Розв’яжіть
рівняння (х2-3|х|-4)2 - 2(х2-3|х|-4)(х-1) –
8(1-х)2 = 0.
Розклад на множники многочленів
Архип
вважає, що усі цілі многочлени можна розкладати на лінійні множники на множині
комплексних чисел. Допоможіть Архипу знаходити нулі многочленів,
міркуючи над завданнями.
Завдання
Знайти помилку в розкладі на
множники многочленів і знайти їхні нулі:
1) a4
+ 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a2
+ 2)2 + 4a2 = (a2 – 2a + 2)(a2 + 2a + 2);
2) a4
+ a2 + 1 =
a4 + 2a2
+ 1 +
a2 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1);
3) а5 +
a +1 = a5 +
a4 – a4 + a3 – a3 +
a2 – a2 + a + 1 = = (a5 +
a4 +
a3) – (a4 + a3 + a2) -(a2 + a + 1) = (a2 +
a + 1)(a3 – a2 + 1);
4) a10
+ a5 +
1 = (a10
+ a9+ a8) – (a9 + a8 + a7) + (a7 + a6 + a5) – (a6 + a5 + a4) + (a5 + a4 +
а3) – (a3 +
a2 +
a) -
(a2 +
a + 1) = (a2 + a + 1)(a8 – a7 +
a5 – a4 +
a3 – a + 1);
5) a3
+ b3 + c3 – 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3
– 3abc –3a2b + 3ab2 =
=
((a + b)3+ c3) – 3ab(a + b + c) = = (a + b + c)(a2
+ 2ab + b2 – ac – bc + c2)
–3ab(a +b + c) = (a + b + c)(a3
+ b3 + c2 – ab – ac – bc).
6)
a4 +
4b4 = a4 + 4a2b2 + 4b4– 4a2b2 = (a2
+2b2)2 + (2ab)2
= (a2 – 2ab + 2b2)(a2
+ 2ab + 2b2);
7)
4a4
+ b4 = 4a4 + 4a2b2 + b4– 4a2b2 = (2a2
+b2)2 + (2ab)2
= (2a2 – 2ab + b2)(2a2
+ 2ab + b2);
8) (a – b)3 + (b – c)3 +
(c – a)3 =
a3 – 3a2b + 3ab2 –
b3+ b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a +
3ca2 + a3 =
= -3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 –
3c2a + 3ca2 =
= -3ab(a – b) + 3c(a2 –
b2) – 3c2 (a – b)
=
= 3(a – b)((a + b)c – ab – c2) = 3(a –b)(a(c – b) + c(b – c)) =
=
3(a – b)(b – c)(c – a).
Перевірка тотожностей
Віктор
вважає, що усі цілі многочлени з багатьма невідомими можна розкладати на
множники на множині дійсних чисел. Допоможіть Віктору перевіряти правильність розкладу на множники многочленів, міркуючи
над завданнями.
Завдання
Чи вірно, що виконується наступні рівності для усіх змінних:
1)
(a + b + c)(a - b - c)(a + b - c) = a3 - b3 +c3 + а2b - аb2 -a2c - c2a - b2c + c2b+2abc;
2)
а3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 –аb–bc–ac);
3)
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2аb - 2bc -2ac;
4)
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2аb + 2bc -2ac;
5)
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2аb + 2bc +2ac;
6)
(a + b + c)3 = a3 + b3+ c3+ 3а2b + 3аb2 +3a2c +3ac2+3b2c+3bc2+6abc;
7)
(a - b - c)3 = a3 - b3- c3- 3а2b + 3аb2 -3a2c +3ac2-3b2c-3bc2+6abc;
8)
(a + b - c)3 = a3 + b3- c3+ 3а2b + 3аb2 -3a2c +3ac2-3b2c+3bc2-6abc;
9)
(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c) = (a2
– (b - c)2) (a + b + c)2;
10)
(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(b + c- а) = 2a2c2 +2b2c2 +2b2a2 – a4– b4–
c4.
11)
(a + b + c)2 +(a - b - c)2 +(a + b - c)2 = 3a2 + 3b2+ 3c2+ 2а2b + 2аb2 -2a2c.
Перевірка добутків
Антон
вважає, що існують многочлени, що містять три змінні і їх можна розкладати на
множники на множині дійсних чисел. Допоможіть Антону перевіряти правильність розкладу на множники многочленів, міркуючи
над завданнями.
Завдання
Чи вірно, що виконується наступні рівності для усіх змінних:
1)
(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b - c)= a2 + b2 + c2 + 2аb + 2bc +2ac;
2)
(a + b + c)(a + b - c)= (a + b)2 – c2 = a2 + 2ba+ b2 – c2;
3)
(a - b + c)(a + b - c)= a2 - b2 + 2bc – c2 = a2 -(c - b)2;
4)
(a - b - c)(a - b - c)= a2 + b2 + c2 + 2bc – 2ab -2ac = a2 -(c - b)2;
5)
(a - b - c)(a + b - c)= a2 - b2 + c2 -2ac =(a - c)2 -b2;
Перевірка многочленів на парність
Аркадій
вважає, що усі цілі многочлени з
багатьма невідомими можна дослідити на парність. Допоможіть Аркадію перевіряти правильність парності многочленів, міркуючи
над завданнями.
-
Завдання 1.
Дослідити на парність і перевірити правильність твердження:
1)
(a - b)(a - c)(b - c)= a2b -аb2 + ac2- a2c + b2c - bc2 - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.
2)
(a + b)(a + c)(b + c)= a2b +аb2 + ac2+ a2c + b2c + bc2 +2abc;
- цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.
3)
(a - b)(a + c)(b - c)= a2b -аb2 - ac2- a2c - b2c + bc2
+2abc; - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.
4)
(a - b)(a + c)(b + c)= a2b - аb2 + ac2+ a2c - b2c
- bc2; - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.
Завдання 2.
Чому не існує трійки цілих чисел ( a; b; c), яка задовольняє такі рівняння:
А) (a+ b)(a + c)(b + c)= 11; Б) (a - b)(a - c)(b - c)= 13;
В) (a + b)(a - c)(b - c)= -19; Д) (a + b)(a - c)(b - c)= -1;
Г) (a + b)(a + c)(b - c)= 17?
Завдання 3.
Чи існують трійки цілих чисел ( a; b; c), які задовольняють
А) (a - b)(a - c)(b - c)= 2; Б) (a - b)(a - c)(b - c)= 0.
Властивості періодичних дробів
Властивості періодичних дробів
Аліна вивчає властивості раціональних чисел. Вона складає запитання і шукає на них точні відповіді. Уважно прогляньте Алініні запитання
та відповіді на них. Доповніть їх власними думками. Наведіть власні
приклади десяткових дробів на кожне запитання.
Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить
тільки дев’ятки, то маємо періодичний дріб?
Відповідь: так. Прогляньте приклади.
Приклади періодичних десяткових дробів.
0,5555…. = 0,(5) = 5:9 = 5/9;
0,3333…. = 0,(3) = 1:3 = 3/9 = 1/3;
0,6666…. = 0,(6) = 2: 3 = 6/9 = 2/3;
0,142857142857142857…. = 0,(142857) = 1:7 = 1/7 = 142857
/ 999999;
0,4545454545… = 0,(45) = 5:11 = 45/99 =
5:11 = 5/11;
0,615384615384615384… = 0,(615384) = 8:13 = 8/13 = 615384
/ 999999.
Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить
тільки 10, 100, 1000, і так далі…, то маємо скінчені дроби?
Відповідь: так. Прогляньте приклади.
Приклади скінчених десяткових дробів:
0, 5 = 1:2 =1/2 = 5/10;
0, 25 = 1:4 =1/4 = 25/100;
0, 3 = 3:10 = 3/10;
0,125 = 1:8 = 1/8 = 125/1000;
0,05 = 1:20 = 1/20 = 5/100.
Запитання: Чи вірно, що існують нескінчені
неперіодичні дроби?
Відповідь: так. Прогляньте приклади.
Приклади нескінчених неперіодичних десяткових
дробів:
3,1415926535897932384626433832795… = π (трансцендентне число, відношення
довжини кола до довжини його діаметра);
2,71828182… = е (трансцендентне число
Ейлера, значення виразу (1+1/к)к, якщо к → ∞);
1,4142135623730950488016887242097… = 20,5 (ірраціональне
число, довжина діагоналі одиничного квадрата).
Запитання: Як розпізнати скінчені та
нескінчені десяткові дроби?
Відповідь: Будь-яке раціональне число можна
записати у вигляді звичайного дробу
a/b = a:b,
тобто, записати, як результат дії ділення.
Зазначимо, що
b є N, (тобто, b ≠ 0, натуральні числа),
а є Z (цілі числа, тобто, від’ємні числа, додатні числа і
нуль).
Запитання: Чи завжди в результаті ділення двох
скінченихдесяткових дробів ми отримаємо скінчені десяткові дроби?
Відповідь: Не завжди в результаті ділення
одного десяткового дробу на другий дістаємо скінченний десятковий
дріб. Шуканою часткою може бути і нескінченний десятковий дріб.
Запитання: Як розпізнати скінчені та
нескінчені десяткові дроби?
Нескінченні десяткові дроби бувають: періодичні
і неперіодичні.
Відповідь: Наприклад, якщо ділити 3 на 11, у частці
дістанемо нескінченний десятковий дріб 0,272727..., у якому цифри 2 і 7
періодично повторюються. Це – нескінченний періодичний десятковий дріб із
періодом 27.
Але відношення довжини кола до довжини його діаметра
виражається нескінченним неперіодичним десятковим дробом 3,14159... .
Запитання: Які бувають періодичні дроби?
Відповідь: Періодичні дроби бувають чисті і
мішані.
Чистим періодичним дробом називається такий, у якого
період починається відразу після коми, наприклад чистий періодичний дріб:
12,363636...
Мішаним періодичним дробом називається такий,
у якого між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються,
наприклад мішаний періодичний дріб:
0,07464646...
Записувати періодичні десяткові дроби прийнято
скорочено:
замість 3,2666... пишуть 3,2(6),
замість 0,424242... пишуть 0, (42), тобто «період 42
записують у дужках.
Запитання: Як розпізнати скінчені дроби?
Відповідь: Звичайний нескоротний дріб можна подати у
вигляді скінченного десяткового дробу тоді і лише тоді, коли в розкладі на
прості множники його знаменника немає інших множників,крім 2 і 5.
Запитання: Чи завжди нескоротний звичайний
дріб є періодичним?
Відповідь: Якщо звичайний нескоротний дріб
перетворюється в нескінченний десятковий дріб, то останній обов'язково
періодичний.
Запитання: Як розпізнати чисті та мішані періодичні
дроби?
Відповідь: Якщо у знаменнику дробу немає множників 2
і 5, то вінчистий періодичний,
якщо ж знаменник має множники 2 або 5 та інші числа,
тоді дрібмішаний періодичний.
Приклади. Дріб 5/33 до перетворюється в
чистий періодичний десятковий, бо 33 не ділиться ні на 2, ні на 5.
Дріб 11/12 перетворюється у мішаний періодичний десятковий
дріб, бо знаменник 12 ділиться на 2.
Справді,
5/33 = 5:33 = 0,15151515… = 0,(15);
11/12 = 11: 12 = 0,91666666… = 0,91(6).
Запитання: Як можна перетворювати чисті
періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?
Відповідь: Щоб перетворити чистий періодичний дріб у
звичайний, досить записати чисельником його період, а знаменником – число,
позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у періоді.
Приклади.
0,(8) = 8/9;
0,(84) = 84/99;
0,(876) = 876/999;
0,(8456) = 8456/9999;
15,(37)= 15 + 37/99
12,(352)= 12 + 352/999.
Запитання: Як можна перетворювати мішані
періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?
Відповідь: Щоб перетворити мішаний періодичний дріб
у звичайний, досить від числа, що стоїть до другого періоду, відняти
число, що стоїть між комою і першим періодом, і здобуту різницю взяти
чисельником, а знаменником написати число, позначене стількома дев'ятками,
скільки цифр у періоді, і зі стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою
і періодом.
Приклади.
0,8(57) = (857 – 8) / 990 = 849 / 990
6,7(4) = 6 + (74 – 7)/90 = 6 + 67/90.
опубліковано Сергій Негода @ 03:40
0 коментарі(в)
0 коментарі(в):
Дописати коментар
Підписка на Дописати коментарі [Atom]
<< Головна сторінка