КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН.

Квадратне рівняння — це рівняння вигляду

a x² + b x + c = 0,

де a не дорівнює 0.

• Геометричний зміст

• Вивід формули для розв'язання квадратного рівняння

• Дискримінант квадратного рівняння

• Теорема Вієта

• Розклад квадратного рівняння на множники

• Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Геометричний зміст

Графіком квадратичної функції є парабола. Розв'язками (коренями) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола, яка описується квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має дійсних корнів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (вершині параболи), рівняння має один дійсний корінь (також кажуть, що рівняння має два співпадаючих кореня). Якщо парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, рівняння має два дійсних кореня.

Якщо коефіцієнт a додатній, вітки параболи направлені вгору, якщо від'ємний — вітки параболи направлені вниз. Якщо коефіцієнт b додатній, то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо від'ємний — в правій півплощині.

Вивід формули для розв'язання квадратного рівняння

Формулу для розв'язання квадратного рівняння a x² + b x + c = 0 можна отримати так:

• перенесемо c в праву частину a x² + b x = - c
• помножимо рівняння на 4a (2a x)² + 4a b x = - 4a c
• додамо b² до обох частин (2a x)² + 4a b x + b² = b² - 4a c
• в лівій частині виділимо повний квадрат (2a x + b)² = b² - 4a c
• знайдемо квадратний корінь 2a x + b = ± √b² - 4a c
• перенесемо b в праву частину 2a x = - b ± √b² - 4a c
• розділимо рівняння на 2a

  x =	-b ± √b2 - 4a c
  	2 a

Дискримінант квадратного рівняння

Дискримінантом

 квадратного рівняння називають число яке дорівнює D = b² − 4ac

Квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати від 0 до 2 дійсних коренів в залежності від значення дискримінанта:

• коли D > 0 корнів два, и вони обчислюються за формулою

  x1,2 =	-b ± √D
  	2 a

• коли D = 0 корінь один (два рівних або співпадаючих коріня), кратності 2:

  x =	-b
  	2 a

• коли D < 0 дійсних коренів нема. Існують два комплексних кореня, які можна знайти за формулою

  x1,2 =	-b ± i√-D
  	2 a

Теорема Вієта

Зведеним квадратним рівнянням

 називається рівняння, в якому коефіцієнт при x² дорівнює одиниці. Таке рівняння може бути отримане діленням всього виразу на коефіцієнт a: x² + px + q = 0, де p = ba, q = ca

Сума коренів зведеного квадратного рівняння

x² + px + q = 0 дорівнює коефіцієнту p, взятому з оберненим знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену q:
      x₁ + x₂ = -p,      x₁x₂ = q.

Розклад квадратного рівняння на множники

Якщо відомі обидва кореня квадратного рівняння, його можна розкласти за формулою

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Наприклад. Знайти корені квадратного рівняння: 2x² + 5x + 3 = 0
D = 5² - 4·3·2 = 25 - 24 = 1

x1 =  -5 + √1  = -1, 2·2

x2 =  -5 - √1  = -1 1 2·2 2

КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН.     

ax² + bx + c = а(х - х₁)(х - х₂) = а(х - m)²+ n

А!. Записати три різних квадратних тричленів у стандартному, якщо його  корені дорівнюють:

1) 20 і -1,3;  2) – 80 і 1,6;   3) 70 і -1,6;  4) -50  і -1,2;   5) – 90 і -1,5;  6) -12 і -4,0;  7) – 20 і 1,6;  8) 40 і -2,5;   9) – 70 і 1,9;

10) 1,3 і -70;   11) -30 і -1,9;   12) – 1,4 і -80;  13) 90 і -1,2; 14) – 1,3 і - 60;   15) 50 і -2,3;  16) – 1,7 і 60;  17) 90 і -2,6;

18) -1,4 і -20;   19) – 40 і -1,7;  20) -1,3 і -40;  21) – 50 і 2,6;  22) 30 і -2,5;  23) – 10 і 3,3;  24) 30 і -2,4;  25) -2,2 і -90; 

 26) – 40 і -1,2;  27) -15 і -20; 28) – 30 і – 1,6;  29) 20 і -3,6;  30) – 1,2 і 60;  31) 40 і -4,6;  32) -4,4 і -70;   33) – 90 і -60;  34) -10 і -4,3;  35) – 20 і 6,1;   36) 40 і -5;  37) – 10 і 3;  38) -90 і 5,5;  39) -5 і -90;   40) 14 і -2;   41) -12 і -3. 42) -5 і -20.

Б!. Розкласти на множники квадратний тричлен: а(х-х₁)(х-х₂) та виділити квадрат двочлена: а(х-m)²+n

1) -х² -5х-4;  2)- х² -х-2;  3)- х² -6х-5;  4) -х² -7х-6;  5) -х² -6х-7;  6) -х² -9х-8;  7) -х² -10х-9;  8) -х² -11х-10;  9) -х² -12х-11;    10) -х² -13х-12;  11) -х² -15х-14; 12) -х² -16х-15;   13) - х² -17х-16;  14) -х² -18х-17;  15) -х² -19х-18;  16) -х² -20х-19;

17) -х² -21х-20;  18) -х² -22х-21;  19) -х² -23х-22;  20) -х² -24х-23;  21) -х² -25х-24;  22) -х² -26х-25;  23) -х² -27х-26;

24) -х² -28х-27;  25) -х² -29х-28;  26)- х² -30х-29;   27) -х² -31х-30;  28)- х² -32х-31;  29) -х² -33х-32;  30) -х² -34х-33; 

31) -х² -35х -34;  32) -х² -36х-35;  33) -х² -37х-36;  34) -х² -38х-37;  35)- х² -39х-38;  36) -х² -41х-40;   37) -х² -42х-41;  38)- х² - 8х -12;  39)- х² -7х+12;  40) -х² -10х+21;  41)- х² +6х-8.  42) -х² -15х-56;  43) х² +14х+48. 44) х² -17х + 72.

В!. Розв’язати рівняння:  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.

1.    а) z² = (– 1³) ⁶; б) х³ = 24x; в) (х-1)(х+9) = 8х;  г) (6х – 9)² + (9х + 6)² = 84; д)  -9kх² – (4-3k)х -0,25k = 0.  

2.    а) b² =( – 3¹) ² ; б) х³ = 60x; в)  (х-4)(х+8) = 4х;  г) (7х – 4)² + (4х + 7)² = 34; д) -4kх² – (5-2k)х -0,25k = 0.  

3.     а) z² = (– 1⁴) ³; б) х³ = 84x; в) (х-4)(х+7) = 3х;  г) (8х – 2)² + (2х + 8)² = 42; д) -9kх² – (6-3k)х -0,25k = 0.    

4.    а) b² = - ( – 3) ³; б) х³ = 72x; в) (х-4)(х+6) = 2х;  г) (9х – 5)² + (5х + 9)² = 52; д) - kх² – (7-k)х -0,25k = 0.    

5.    а) z² = (– 2) ⁵; б) х³ = 96x; в)  (х-4)(х+5) = х;  г) (2х – 1)² + (2х +1)² = 62; д) -4kх² – (8-2k)х -0,25k = 0.  

6.    а) х² = 36;  б) х³ = 225x; в)  (х-9)(х+3) =-6 х;  г) (4х –3)² + (3х + 4)² = 72; д) -9kх² – (9-3k)х -0,25k = 0.  

7.    а) m² –7m = 0;  б) х³ = 88x; в) (х-8)(х+3) = -5х;  г) (5х – 3)² + (3х + 5)² = 82; д) kх² – (4-k)х +0,25k = 0.   

8.    а) n² +3n= 0;  б) х³ = 28x; в) (х-7)(х+3) = -4х;  г) (7х – 4)² + (4х + 7)² = 92; д) kх² – (1-k)х +0,25k = 0.   

9.    а) k² –25k = 0; б) х³ = 90x; в) (х-6)(х+3) = -3х; г) (8х –6)²+ (6х +8)² = 22; д)  kх² – (k-1)х +0,25k = 0.   

10.а) 36z – z² = 0;  б) х³ = 19x; в) (х-5)(х+3) = -2х;  г)  (9х – 7)² + (9х+7)² = 72; д) 4kх² – (2k-2)х+0,25k=0.

11.     а)  – b² – 5b = 0; б) х³ = 18x; в) (х-3)(х+5) = 2х;  г) (3х – 7)² + (3х + 7)² = 52; д) kх² – (k-3)х+0,25k=0.           

12.     а)  b² =( – 4) ² ; б) х³ = 12x; в) (х-64)(х+65) = х;  г) (7х –9)² + (9х+7)² = 72; д) 9kх² – (3k-4)х+0,25k=0.              

13.     а)  z² = (2⁴) ³; б) х³ = 10x; в) (х-54)(х+55) = х;  г) (8х – 7)² + (7х + 8)² = 82; д) kх² – (k-5)х+0,25k=0.           

14.     а)  b² = - ( – 4) ³; б) х³ = 8x; в) (х-44)(х+45) = х;  г) (4х – 5)² + (5х + 4)² = 92; д) kх² – (k-6)х+0,25k=0.            

15.     а)  z² = (– 3) ⁵; б) х³ = 7x; в) (х-34)(х+35) = х;  г) (5х – 8)² + (8х + 5)² = 62; д) kх² – (k-7)х+0,25k=0.            

16.     а)  х² = 64x;  б) х³ = 6x; в) (х-24)(х+25) = х;  г) (7х – 1)² + (7х + 1)² = 12; д) kх² – (k-8)х+0,25k=0.            

17.     а)  у² = 0,81y;  б)х³ = 5x; в) (х-15)(х+16) = х;  г) (8х – 1)² + (8х + 1)² = 42; д) -9kх² –(3k-1)х -0,25k = 0.           

18.     а)  z² = (- 4)³; б) х³ = 0,01x; в) (х-14)(х+15) = х;  г) (9х – 1)² + (9х + 1)² = 62; д) kх² –kх +0,25k+1 = 0.              

19.     а)  m² = 5⁴; б) х³ = 0,16x; в) (х-13)(х+14) = х;  г) (6х – 3)² + (3х + 6)² = 92; д)  kх² –kх +0,25k+2 = 0.              

20.     а) m² = 2³;   б) х³ = 49x; в) (х-12)(х+13) = х;  г) (8х – 9)² + (9х + 8)² = 72; д) kх² –kх +0,25k+3= 0.              

21.     а)  n² = ¹/₃₆; б) х³ = 256x; в) (х-11)(х+12) = х;  г) (4х – 5)² + (4х + 5)² = 52; д) kх² –kх +0,25k+4 = 0.              

22.     а)  d² =(- ¹/_π)²; б) х³ = 196x; в) (х-10)(х+11) = х;  г) (2х – 5)² +(2х +5)² = 32; д) kх² –kх +0,25k+26 = 0.              

23.     а) х² = 2,89;  б) х³ = 169x; в) (х-1)(х+2) = х;  г) (2х – 5)² + (2х + 5)² = 12; д) kх² –kх +0,25k+27 = 0.              

24.     а)  n² = 6,25n; б) х³ = 81x; в) (х-7)(х+8) = х;  г) (2х – 5)² + (2х + 5)² = 82; д) kх² –kх +0,25k+28 = 0.              

25.     а)  m² =¹/₃₆; б) х³ = x; в) (х-6)(х+7) = х;  г) (х – 5)² + (х + 5)² = 62; д) kх² –kх +0,25k+29= 0.               

26.     а)  a² = 1⁷/₉; б) х³ = 9x; в) (х-5)(х+6) = х;  г) (5х – 4)² + (4х + 5)² = 42; д) kх² –kх +0,25k+30 = 0.               

27.     а)  b² = 3¹/₁₆; б) х³ = 4x; в) (х-4)(х+5) = х;  г) (4х – 3)² + (3х + 4)² = 22; д)  kх² –kх +0,25k+32= 0.                

28.     а)  z² = (– 2) ⁶; б) х³ = 36x; в) (х-8)(х+9) = х;  г) (3х – 5)² + (3х + 5)² = 12; д) kх² –kх +0,25k+33= 0.                 

29.а) х² = 441n; б) х³ = 98x; в) (х-4)(х+10) = 6х; г) (х – 2)² + (х + 2)² = 4; д) -4kх² – (1-2k)х -0,25k +1= 0.  

30.а) n² = 324;  б) х³ = 78x; в) (х-7)(х+4) = -3х;  г) (х – 4)² + (х + 4)² = 32; д)  -kх² – (1-k)х -0,25k+2 = 0.  

31.а) m² = 108;  б) х³ = 58x; в) (х-9)(х+4) = -5х;  г) (х – 1)² + (х + 3)² = 10; д) -kх² – (2-k)х -0,25k+3 = 0.  

32.а) х² = 225;  б) х³ = 87x; в) (х-9)(х+1) = -8х;  г) (х – 3)² + (х + 5)² = 34; д) -9kх² – (1-3k)х -0,25k +4= 0.

33. а) х² = 9х; б) х³ = 16x; в) (х-4)(х+3) = х;  г) (2х – 5)² + (5х + 2)² = 60; д) -9kх² – (1-3k)х -0,25k = 0.  

34.а) n² = 4n;  б) х³ = 0,25x; в) (х-7)(х+1) = -6х;  г) (4х – 2)² + (2х + 4)² = 54; д)  -kх² – (1-k)х -0,25k = 0.  

35.а) m² = 16m;  б) х³ = 48x; в)  (х-8)(х+4) = -4х;  г) (3х – 4)² + (4х + 3)² = 64; д) -kх² – (2-k)х -0,25k = 0.  

36.а) х² = 25x;  б) х³ = 44x; в)  (х-9)(х+6) = -3х;  г) (4х – 5)² + (5х + 4)² = 68; д) -4kх² – (1-2k)х -0,25k = 0.  

37.а) k² = 64k;  б) х³ = 99x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (15х – 6)² + (6х + 15)² = 90; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

38. а) k² = 36k;  б) х³ = 99x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х – 6)² + (6х + 5)² = 60; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

39.а) k² = -16k;  б) х³ = 99x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х – 16)² + (16х + 5)² = 80; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

40.  а) k² = 256;  б) х³ = 45x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (х – 6)² + (х + 6)² = 72; д) -4kх² – (7-2k)х -0,25k+6 = 0.