Задачи геометрическего кружка. Второй год обучения.

Математический кружок, 2-й год. Геометрия. Два неравенства

Задача 1:
Докажите, что при b + c > a, a + c > b, a + b > c, где a, b и c – положительные числа, существует треугольник со сторонами a, b и c.
Решение:
Указание: выясните, какой может быть длина третьей стороны в треугольнике, две стороны которого имеют длины a и b.
Задача 2:
Докажите, что медиана AM в треугольнике ABC по длине больше, чем (AB + AC – BC)/2.
Решение:
Указание: докажите неравенства AM > AB – BC/2 и AM > AC – BC/2.
Задача 3:
Докажите, что из отрезков длины a, b и c можно составить треугольник тогда и только тогда, когда есть такие положительные x, y, z, что a = x + y, b = y + z, c = x + z.
Решение:
Указание: рассмотрите окружность, вписанную в треугольник, и длины отрезков, на которые точки касания делят стороны.
Задача 4:
Докажите, что если AB = AC, то углы ABC и ACB равны.
Решение:
Указание: проведите доказательство от противного.
Задача 5:
В треугольнике ABC длина медианы AM больше половины длины BC. Докажите, что угол BAC – острый.
Решение:
Указание: используйте неравенства  ∠ BAM >  ∠ ABM и  ∠ CAM >  ∠ ACM.
Задача 6:
Докажите, что если из отрезков длины a, b и c можно составить треугольник,то его можно составить и из отрезков длины , , .
Решение:
Это простое упражнение на применение неравенства треугольника.
Задача 7:
ABCD – выпуклый 4-угольник, причем AB + BD < AC + CD. Докажите, что AB < AC.
Решение:
Так как AB + CD < AC + BD (кстати, почему?), то, складывая это неравенство с данным в условии, получаем требуемое.
Задача 8:
Центры трех непересекающихся кругов расположены на одной прямой. Докажите, что если окружность касается всех кругов, то ее радиус больше радиуса одного из них.
Решение:
1. Можно считать, что все касания внешние иначе утверждение задачи очевидно. Тогда, если мы обозначим радиусы окружностей с центрами A, B, C и D соответственно через r₁, r₂, r₃ и R, то по неравенству треугольника AD + DC > AC, то есть R + r₁ + R + r₃ > AC > r₁ + r₃ + 2r₂ и значит, R > r₂, ч.т.д.
2. Один из углов DBA и DBC – неострый и значит, наибольший в соответствующем треугольнике. Пусть это угол DBA. Тогда по неравенству 2 DA > AB, т.е. R + r₁ > AB > r₁ + r₂ и значит, R > r₂, ч.т.д.
Задача 9:
Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ – два выпуклых 4-угольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если  ∠ A >  ∠ A₁, то  ∠ B <  ∠ B₁,  ∠ C >  ∠ C₁,  ∠ D <  ∠ D₁.
Решение:
Раз  ∠ A >  ∠ A₁, то BD > B₁D₁, и значит  ∠ C >  ∠ C₁. Если же  ∠ B >  ∠ B₁, то аналогично  ∠ D >  ∠ D₁, чего быть не может, так как сумма углов в четырехугольниках одна и та же.
Задача 10:
Докажите, что медиана треугольника, заключенная между двумя его неравными сторонами, образует больший угол с меньшей из двух этих сторон.
Решение:
Надо достроить треугольник ABC до параллелограмма ABDC и применить неравенство о большей стороне и большем угле.
Задача 11:
Могут ли в прямолинейной пятиконечной звезде ABCDEFGHIK выполняться неравенства: AB > BC, CD > DE, EF > FG, GH > HI, IK > KA?
Решение:
Из неравенства о большей стороне и большем угле следует, что  ∠ BAC >  ∠ BCA =  ∠ DCE >  ∠ DEC =  …  >  ∠ KAI =  ∠ BAC – противоречие!
Задача 12:
Дан равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине B, равным 20 градусов. Докажите, что а) AB < 3AC; б) AB > 2AC.
Решение:
а) Приложите друг к другу боковыми сторонами три копии данного треугольника. б) Отложите на стороне AB отрезок AE, равный основанию AC, и докажите, что EB > CE > AC.
Задача 13:
Периметр пятиконечной звезды с вершинами в вершинах выпуклого пятиугольника Ф, периметр самого Ф, и периметр внутреннего пятиугольника звезды – простые числа. Докажите, что их сумма не меньше 20.
Решение:
Если обозначить три указанных периметра через a, b, c, то a > c, a + c < b, 2a > b. Дальше действуйте перебором.
Задача 14:
На каждой стороне квадрата отмечено по точке. Докажите, что периметр образованного ими четырехугольника не меньше удвоенной длины диагонали квадрата.
Решение:
«Разверните» периметр четырехугольника, как это показано

Математический кружок, 2-й год. Геометрия. Движения плоскости и равенство фигур

Задача 15:
Докажите, что любые два треугольника со сторонами a, b и c каждый, могут быть совмещены движением плоскости.
Решение:
Совместите последовательно вершины данных треугольников.
Задача 16:
а) Если движение T оставляет вершины треугольника ABC на месте, то T есть тождественное преобразование.
б) Если оба движения T и T′ переводят вершины треугольника ABC в точки A′, B′, C′ соответственно, то T и T′ совпадают.
Решение:
а) Докажите, что любая точка D остается на месте. б) Примените результат пункта а).
Задача 17:
а) Каким движением является композиция двух параллельных переносов?
б) Докажите, что любой параллельный перенос можно представить как композицию двух симметрий относительно различных точек M и N.
в) Рассмотрим следующее движение: композицию осевой симметрии относительно прямой m и параллельного переноса на единичное расстояние параллельно прямой m. Докажите, что это движение не является ни поворотом, ни параллельным переносом, ни осевой симметрией.
Решение:
а) Это вновь параллельный перенос. б) Возьмите две параллельные прямые, перпендикулярные направлению переноса, расстояние между которыми равно половине длины переноса.
Задача 18:
Даны две равные окружности. Можно ли отобразить одну на другую поворотом?
Решение:
Да, всегда. Достаточно перевести центр в центр.
Задача 19:
Может ли поворот переводить полуплоскость в самое себя? А какая-либо симметрия?
Решение:
Только тождественный поворот. Осевая симметрия может, в отличие от центральной.
Задача 20:
Про некоторую фигуру на плоскости известно, что она самосовмещается при повороте на 48 градусов вокруг точки O. Верно ли, что она самосовмещается при повороте на 72 градуса вокруг точки O?
Решение:
Да, это верно. Убедитесь, что фигура самосовмещается при повороте на 24 градуса вокруг точки O.
Задача 21:
Через точку внутри треугольника проведите отрезок с концами на контуре треугольника так, чтобы эта точка делила отрезок пополам.
Решение:
Указание: используйте центральную симметрию.
Задача 22:
Дан угол, вершина которого не поместилась на чертеже. Постройте угол, величина которого в два раза больше величины данного угла.
Решение:
Указание: используйте параллельный перенос.
Задача 23:
В данную окружность впишите пятиугольник, стороны которого параллельны пяти данным прямым.
Вместо данных нам пяти прямых L₁, L₂, …, L₅ рассмотрим прямые K₁, K₂, …, K₅, перпендикулярные к ним и проходящие через центр нашей окружности. Тогда, как нетрудно понять, прямые L_i и AB (A и B – точки на окружности) параллельны тогда и только тогда, когда A и B симметричны относительно прямой K_i. Осталось лишь найти точку M на окружности, которая после применения к ней всех пяти симметрий – относительно K₁, K₂, …, K₅ – останется на месте. Но композиция пяти осевых симметрий – это осевая симметрия, причем ее ось также проходит через центр нашей окружности (подумайте, почему это утверждение верно). Следовательно, такая точка M есть и легко строится (как одна из точек пересечения оси симметрии и окружности).
Вопрос: В изложенном решении опущен один «тонкий» момент. Найдите его и восполните пробел.
Задача 24:
В трапеции ABCD (AD || BC) M и N – середины оснований и прямая MN образует равные углы с прямыми AB и CD. Докажите, что эта трапеция равнобочна.
Решение:
Указание: используйте параллельный перенос.
Задача 25:
На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD взяты точки P, Q, R и S так, что AP:PB = BQ:QC = CR:RD = DS:SA. Докажите, что PQRS – квадрат.
Решение:
Указание: используйте поворот на 90 градусов.
Задача 26:
На плоскости дана точка P и две параллельные прямые. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с P, а две другие лежат на этих прямых соответственно.
Решение:
Указание: используйте поворот на 60 градусов.
Задача 27:
Найти на данной прямой точку M такую, что а) сумма расстояний от M до двух данных точек минимальна; б) разность расстояний от M до двух данных точек максимальна.
Решение:
а) Если эти точки X и Y лежат по разные стороны от данной прямой L, то то M = (XY) ∩ L; если же по разные, то M = (XY₁) ∩ L, где Y₁ симметрична точке Y относительно L. б) Если X и Y – по одну сторону от L, то M = (XY) ∩ L; если по разные, то M = (XY₁) ∩ L, где Y₁ симметрична Y относительно L.
Задача 28:
Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось.
Решение:
Отразите первую ось относительно второй.
Задача 29:
Какие буквы русского алфавита имеют а) ось симметрии; б) центр симметрии ?
Решение:
а) А, В, Д, Е, Ж, З, К, Л, М, Н, О, П, С, Т, Ф, Х, Ш, Э, Ю. б) Ж, И, Н, О, Ф, Х. Конечно, здесь ответ частично зависит от написания букв.
Задача 30:
Существует ли пятиугольник, имеющий ровно две оси симметрии?
Решение:
Нет.
Задача 31:
Найдите множество M всех точек X на плоскости таких, что при данном повороте точка X переходит в точку X′ такую, что прямая XX′ проходит через данную точку S.
Решение:
Это точки, из которых отрезок OS (O – центр поворота) виден под углом 90 +  α /2 или 90 –  α /2 – уточните это ГМТ ( α  – угол поворота).
Задача 32:
В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине A, равным 36 градусов, проведена биссектриса BK. Докажите, что BK = BC.
Решение:
Так как  ∠ C = 72, и  ∠ B = 72, то величина угла KBC равна 36 градусов и значит, величина угла CKB – 72 градуса. Следовательно, треугольник KBC – равнобедренный и BK = BC.
Задача 33:
Докажите, что сумма углов в вершинах пятиугольной звезды равна 180 градусов.
Решение:
180 =  ∠ EBD +  ∠ BED +  ∠ BDE =  ∠ E +  ∠ B +  ∠ D +  ∠ FED +  ∠ FDE. Но  ∠ FED +  ∠ FDE = 180 –  ∠ EFD = 180 –  ∠ CFA =  ∠ A +  ∠ C. Значит, 180 =  ∠ E +  ∠ B +  ∠ D +  ∠ A +  ∠ C, ч.т.д.
Задача 34:
Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть перпендикулярными?
Решение:
Нет, иначе сумма этих углов будет равна 180.
Задача 35:
Хорды AB и CD окружности S параллельны. Докажите, что AC = BD.
Задача 36:
Три угла вписанного четырехугольника относятся как 2:3:4. Найдите эти углы.
Задача 37:
В треугольнике ABC  ∠ A = 90. Проведены медиана AM, биссектриса AK и высота AH. Докажите, что  ∠ MAK =  ∠ KAH.
Решение:
Обозначим угол BCA через  α . Тогда, так как AM = MC, то  ∠ MAC =  α  и значит,  ∠ MAK = 45 –  α  (надо, как теперь видно, взять тот из углов треугольника, который меньше 45 градусов). Далее,  ∠ ABC = 90 –  α  и значит,  ∠ BAH =  α . Следовательно,  ∠ KAH = 45 –  α  =  ∠ MAK, ч.т.д.
Задача 38:
В квадрате ABCD O – точка пересечения окружности с центром A и радиусом AB и серединного перпендикуляра к BC, более близкая к C. Найдите величину угла AOC.
Решение:
Угол AOD равен, очевидно, 60. Далее, треугольник DOC – равнобедренный и мы получаем  ∠ DOC = 75. Следовательно, ответ:  ∠ AOC = 135.
Задача 39:
Две окружности пересекаются в точках A и B. C –точка, диаметрально противоположная к A на первой окружности, D – на второй. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой.
Решение:
Углы ABC и ABD равны 90 и значит,  ∠ CBD = 180, ч.т.д.

Математический кружок, 2-й год. Геометрия. Площадь

Задача 40:
Длины сторон выпуклого четырехугольника равны a, b, c и d (перечислены по часовой стрелке). Докажите, что площадь четырехугольника не превосходит а) (ab + cd)/2; б) (a + b)(c + d)/4.
Решение:
а) Пусть a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|. Тогда S(ABC) ≤ ab/2, S(CDA) ≤ cd/2 и осталось лишь сложить эти неравенства. б) Используйте пункт а) и то, что четырехугольник ABCD можно, разрезав по диагонали AC и перевернув одну из частей, превратить в четырехугольник с той же площадью, но с порядком сторон a, b, d, c.
Задача 41:
Могут ли длины высот треугольника относиться друг к другу как 1:2:3?
Решение:
Пусть S – площадь этого треугольника, a, b и c – длины его сторон. Тогда длины высот равны 2S/a, 2S/b и 2S/c. Значит, a:b:c = 1:1/2:1/3, что, как нетрудно видеть, противоречит неравенству треугольника.
Задача 42:
Треугольник площади 1 имеет стороны с длинами a, b и c, причем a ≥ b ≥ c. Докажите, что .
Решение:
Так как bc/2 ≥ 1, то b² ≥ 2.
Задача 43:
Могут ли длины всех сторон треугольника площади 1 быть больше 1000?
Решение:
Да, такое возможно. Рассмотрите треугольник ABC, в котором , AB = BC = 1001, где – маленькое положительное число.
Задача 44:
Точки K, L, M и N – середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что 2S(KLMN) = S(ABCD).
Решение:
Разрежьте ABCD на две части диагональю AC и докажите требуемое равенство для каждой части отдельно.
Задача 45:
Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, если прямая AC перпендикулярна прямой BD и AC = 3, BD = 8.
Решение:
Ответ: 12.
Задача 46:
Дан треугольник ABC. Точка A₁ лежит на продолжении стороны BC за точку C, причем BC = CA₁. Аналогично строятся точки B₁ и C₁. Найдите S(A₁B₁C₁), если S(ABC) = 1.
Решение:
Ответ: 7. Площадь каждого из трех «дополнительных» треугольников равна 2 – докажите это.
Задача 47:
Точка M лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что площади треугольников ABM и BCM тогда и только тогда, когда M лежит на медиане BK.
Решение:
Равенство площадей равносильно равенству высот, опущенных из A и C соответственно на BM, а это ввиду наличия соответствующих равных треугольников, равносильно тому, что точка пересечения (BM) и [AC] делит [AC] пополам.
Задача 48:
Если два выпуклых четырехугольника расположены так, что середины сторон у них совпадают, то их площади равны. Докажите это.
Задача 49:
Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и COD равновелики.
Решение:
Докажите, что треугольники ABD и ACD равновелики.
Задача 50:
Докажите, что сумма расстояний от точки, находящейся внутри правильного треугольника, до его сторон не зависит от положения точки.
Решение:
Если дана точка O в равностороннем треугольнике ABC, то можно подсчитать площадь треугольника ABC как сумму площадей треугольников OAB, OBC и OAC, опуская перпендикуляры из O на стороны треугольника.

Математический кружок, 2-й год. Геометрия. Построения

Задача 51:
Постройте треугольник
а) по основанию, длине опущенной на него высоты и углу при основании.
б) по трем серединам его сторон.
в) по длинам двух сторон и медианы между ними.
г) по двум прямым, являющимися биссектрисами треугольника, и его третьей вершине.
Задача 52:
Разделите отрезок пополам
а) при помощи одного циркуля.
б) при помощи двусторонней линейки, ширина которой меньше длины отрезка.
в) при помощи двусторонней линейки, ширина которой больше длины отрезка.
Задача 53:
На плоскости дан отрезок AB. На нем выбирается произвольная точка M и на отрезках AM и MB как на гипотенузах строятся равнобедренные прямоугольные треугольники AMC и BMD, причем вершины C и D находятся по одну сторону от отрезка AB. Постройте множество середин всех отрезков CD.
Задача 54:
Имеется инструмент для геометрических построений, при помощи которого можно
а) провести прямую через две данные точки;
б) восстановить перпендикуляр к данной прямой в точке, лежащей на этой прямой.
Как при помощи этого инструмента опустить перпендикуляр из точки на прямую?
Задача 55:
Петя утверждает, что множество точек на плоскости, равноудаленных от данной прямой и данной точки, – это окружность. Прав ли он?

Математический кружок, 2-й год. Геометрия. Вычисления

Задача 56:
Найдите ошибку в доказательстве того, что катет равен гипотенузе. M – точка пересечения биссектрисы угла C и серединного перпендикуляра к отрезку AB; K, L и N – основания перпендикуляров, опущенных из M на стороны треугольника. Тогда треугольники AMK и MKB равны по катету и гипотенузе, и поэтому AM = MB, и треугольники ALM и MNB равны по катету и гипотенузе. Значит, AL = NB. Поэтому AC = AL + LC = NB + CN = BC.
Задача 57:
В четырехугольнике ABCD BC = AD, M – середина AD, N – середина BC. Серединные перпендикуляры к AB и CD пересекаются в точке P. Докажите, что P лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку MN.
Задача 58:
Дан прямоугольный треугольник с острым углом 30. Докажите, что длина отрезка серединного перпендикуляра к гипотенузе, заключенного внутри треугольника, равна трети длины большего катета треугольника.
Задача 59:
В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁, и медианы AA₂, BB₂, CC₂. Докажите, что длина ломаной A₁B₂C₁A₂B₁C₂A₁ равна периметру треугольника ABC.

Математический кружок, 2-й год. Геометрия. Подобие

Задача 60:
Одна из диагоналей вписанного четырехугольника – диаметр. Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.
Задача 61:
На окружности с центром O дана дуга AB величиной 60. На дуге AB взята точка M. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и OA.
Задача 62:
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Докажите, что CD/DB = CA/AB.
Задача 63:

В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основания BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC; O– середина HE. Докажите, что прямые AO и BE перпендикулярны.