ФОРМУЛИ КІЛЬКОСТІ ЕЛЕМЕНТІВ СКІНЧЕНИХ МНОЖИН

ФОРМУЛИ   КІЛЬКОСТІ   ЕЛЕМЕНТІВ  СКІНЧЕНИХ  МНОЖИН

Дуже важливими для практичних  задач є формули  підрахунку кількості різних елементів у декількох множинах, що містять спільні елементи, тобто кількості елементів в об’єднанні двох або трьох множин.

Кількість елементів об'єднання  п(А+В)  будь-яких двох скін­ченних множин А і В обчислюється за формулою:

п(А+В) = п(А) + п(В) - п(АВ).

Для будь-якої трійки скінченних множин А₁, А₂, А₃ має місце формула кількості елементів множини п(A₁ +А₂ +А₃) , що є об’єднанням трьох множин, тобто 

A₁+ А₂ +А₃:

п(A₁ +А₂ +А₃) = п(А₁) + п(А₂) + п(А₃) - п(А₁А₂) - п(А₁ А₃) - п(А₂А₃) + п(А₁А₂ А₃).

Наводимо приклад використання поданих вище формул.

Задача . У лабораторії науково-дослідного інституту працює декілька чоловік, причому кожний з них знає хоча б одну іноземну мову, 6 чоловік знають англійську, 6 ‒ німецьку, 7 ‒ французьку, 4 знають англійську і німець­ку, 3 ‒ німецьку і французьку, 2 ‒ французьку і англійсь­ку, один чоловік знає всі три мови. Скільки чоловік пра­цює в лабораторії? Скільки з них знає лише англійську мову? Скільки чоловік знає лише одну мову?

Розв'язання.

Позначимо п(А), п(Н), п(Ф) кількість співробітників у лабораторії, які знають англійську, німецьку та фран­цузьку  мови   відповідно,  а   п(НФ),  п(АН),  п(АФ), п(АНФ) ‒  кількість чоловік, що знають по дві і три мови відповідно. Тоді, за правилом суми, загальне число співробітників у лабораторії дорівнює

m = п(А)+ п(Н) + п(Ф) - п(НФ) - п(АН) - п(АФ) + п(АНФ)  = 6 + 6 + 7 - 3 - 4 - 2 + 1 = 11.

Тільки англійську та німецьку мови знають

п_АН = п(АН) ‒ п(АНФ) = 4-1= 3 чоловіка, тільки англійську і французьку

п_АФ = п(АФ) - п( АНФ) = 2-1= 1 чоловік. Тоді тільки англійську мову знає

п_А = п(А) - п_АН  – п_АФ - п( АНФ) =  6-3 -1-1 =1 чоловік. Тільки німецьку і французьку знають

п_НФ = п(НФ) - п(АНФ) = 3 ‒ 1 = 2 чоловіки. Тоді більше однієї мови знають

k = п(АНФ) + п_АН + п_АФ + п_НФ = 1 +3+1+2 =7 чоловік, її тільки одну мову  p = п - т = 11- 7 = 4 чоловіка.

Двома основними правилами комбінаторики є:

Принцип суми. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то об’єднання двох множин A+B містить m+n елементів.

Принцип добутку. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, то добуток двох множин AB містить m∙n елементів, тобто пар.

Приклад. При A={a, b, c} розміщення з повтореннями по два елементи – це пари (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c). Або, принцип добутку: 3∙3=9 пар.

Приклад. В одному з відділів магазину покупці зазвичай купляють або один торт, або коробку цу­керок. Одного дня було продано 57 тортів та 36 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 12 з них придбали і торт, і коробку цукерок? Використаємо принцип суми: 57 + 36 - 12 = 81.

Задачі на круги Ейлера

Задача 1. У групі зі 100 туристів 70 знають ан­глійську мову, 45 – французьку і 23 – знають обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької?

Задача 2. В одному з відділів магазину покупці зазвичай купляють або один торт, або коробку цу­керок. Одного дня було продано 57 тортів та 36 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 12 з них придбали і торт, і коробку цукерок?

Задача 3. У спортивному таборі 65 % дітей вміють грати в футбол, 70 % – у волейбол і 75 % – у баскетбол. Яка найменша кількість дітей, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол?

Задача 4. Кожен учень класу на зимових кані­кулах відвідав театр двічі, при цьому спектаклі А, В та С бачили відповідно 25, 12 та 23 учні. Скільки учнів навчається у класі? Скільки з них відвідали спектаклі А та В, А та С, В та С?

Задача 5. На уроці літератури вчитель спробу­вав дізнатися, хто з 40 учнів класу читав книги А, В та С. Результати опитування виявилися такі: книгу А читали 25 учнів, книгу В – 22 учні, книгу С – також 22 учні. Книги А або В читали 33 учні, А або С – 32 учні, В або С – 31 учень; усі три книги прочитали 10 учнів. Скільки учнів прочитали одну книгу? Скільки учнів не прочитали жодної з трьох книг?

Задача 6. Опитування 100 студентів показало такі результати про кількість студентів, які вивчають іно­земні мови: англійську – 28; німецьку – 30; фран­цузьку – 42; англійську та німецьку –8; англійську та французьку – 10; німецьку та французьку – 5; всі три мови – 3 студенти. Скільки студентів не вивчає жодної мови? Скільки студентів вивчає тільки французьку мову? Скільки студентів вивчає тільки німецьку мову? Скільки студентів вивчає тільки анг­лійську мову?

Задача 7. Протягом тижня в кінотеатрі демонст­рувалися фільми А, В та С. З 40 школярів, кожен з яких подивився або всі три фільми, або один з трьох, фільм А дивилися 13 учнів, фільм В – 16, фільм С – 19. Скільки учнів переглянули всі три фільми?

Задача 8. У класі з 40 учнів 30 уміють плавати, 27 – грати у шахи і тільки 5 не вміють ні того, ні іншого. Скільки учнів уміють плавати і грати у шахи?

Задачі комбінаторики

Варіант 1

1.    В їдальні маємо  4 перших страви, і 6 других страв. Скількома способами можна скласти  обід із двох страв?

2.    В алфавіті деякого коду є сім ієрогліфів  і вісім цифр. Скількома способами можна закодувати інформацію за допомогою коду, що складається із двох символів алфавіту, серед яких обов’язкова тільки одна цифра і тільки одна буква. 

3.    У шкільній бібліотеці маємо десять різних книг Тараса Шевченка,  три різні книги Григорія Сковороди, тринадцять різних книг Миколи Гоголя. Скількома способами учень може зробити вибір трьох книг так, що серед них була одна книга будь-якого автора?

4.    Маємо 5 різних стільців і 7 рулонів різного кольору для оббивки стільців. Скількома  способами можна здійснити оббивку стільців?

5.    Скільки чисел серед першої сотні натураль­них чисел не діляться ні на 4, ні на 5, ні на 7?

6.    Для автомобільних номерів використовуються 10 цифр і 28 вісім букв. Кожний номер складається з із трьох букв і чотирьох цифр(окрім номера 00-00). Яке найбільше число машин може отримати номер?

7.    Алфавіт має 33 букви. Скільки можна скласти слів, що містять не більше чотирьох букв, якщо у словах усі букви різні?

8.    В організації ООН визнано п’ять міжнародних мов спілкування. Скільки треба мати двомовних словників в цій організації для перекладу, щоб   перекладати із будь-якої міжнародної мови на будь-яку іншу міжнародну мову.

9.    Скількома способами із 30 учнів класу можна утворити актив класу, в наступному складі: лідер, замісник лідера, староста, редактор класної стінгазети?

10.    У класі 10 юнаків і 12 дівчат. Для участі в концерті потрібно виділити танцювальний дует (юнак + дівчина), тріо гітаристів(троє дівчат). Скількома способами можна це здійснити?

11.    Скільки  існує п’ятицифрових  натуральних чисел, для яких виконується умова чергування парності цифр у десятковому записі?

12.    У футбольному чемпіонаті беруть участь 16 команд.  Скільки ігор мають зіграти усі команди, якщо кожна команда грає дві гри, у себе дома і на виїзді? Чи може цей чемпіонат пройти у весняний та осінній періоди, якщо на один день весни або осені припадає тільки одна гра чемпіонату?

13.    Скільки цифр "9" у ряді чисел від 1 до 100?

14.    За кордон поїхала група туристів із 100 чоловік. 10 із них не знали ні німецької, ні  французької мови. 75 знали німецьку мову. 83 людини знали французьку мову. Скільки туристів володіли двома іноземними мовами?

15.    На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способами турист може піднятись на гору і спуститись з неї? Дайте відповідь на те ж саме запи­тання, якщо підняття і спуск відбуваються: а) різними шляхами; б) однаковими шляхами.

16.    Скільки різних цілих дільників має число 2²∙4³?

17. Із загону у 50 скаутів,  серед яких є наймолодший скаут Макс визначається караул із 4 чоловік. Скільки різних способів утворити караул?  Допоможіть Максу знайти у скількох випадках він попадає в караул.

18. В класі вивчають 10 предметів. В понеділок 6 уроків, причому всі уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок, якщо дві математики(алг. та геом.) стоять підряд?

19. 4 хлопчиків і 4 дівчаток сідають в ряд на 8 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити?

20. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «математика»?

21. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «абабагаламага»?

22. а)Скількома способами можна вказати на ша­ховій дошці два квадрати – білий та чорний? б) Розв'яжіть цю задачу, якщо немає обмежень на колір квадрата.  в) Розв'яжіть її, якщо потрібно вибрати два білих квадрати.

Задачі комбінаторики

   Варіант  2

1. В магазині "Все до чаю"  є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та  4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В – 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?

4. Скільки чисел серед першої сотні натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5?

6. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 5-цифрових "симпатичних" чисел?

7.  Монету кидають тричі. Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати?

8. Кожну клітинку квадратної таблиці 3x3 можна пофарбу­вати в чорний або білий колір. Скільки існує різних розфарбувань цієї таблиці?

9. Скількома способами можна заповнити одну картку в ло­тереї "Спорт прогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти  спортивних матчів. Підсумок кожного матчу – перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)

10. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В. Слово – будь-яка послідовність, яка складається не більше як з 4 літер. Скільки слів в мові племені Мумбо-Юмбо?

11. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?

12. У футбольному чемпіонаті беруть участь 14 команд.  Скільки ігор мають зіграти усі команди, якщо кожна команда грає дві гри, у себе дома і на виїзді? Чи може цей чемпіонат пройти у весняний та осінній періоди, якщо на один день весни або осені припадає тільки одна гра чемпіонату?

14.  За кордон поїхала група туристів із 120  чоловік. 21 із них не знали ні німецької, ні  французької мови. 85 знали німецьку мову. 93 людини знали французьку мову. Скільки туристів володіли двома іноземними мовами?

15. Є група школярів, серед яких п'ють тільки каву 12, п'ють тільки чай – 10, п'ють тільки йогурт – 8, п'ють тільки каву і чай – 5, п'ють тільки каву і йогурт – 4, п'ють тільки чай і йогурт – 3, усі три напої – 1. Скільки всього школярів у групі?

16. Скільки існує непарних  п’ятицифрових чисел, для запису яких використовуються тільки цифри: а) 6, 2, 3, 4, 7;  б) 0, 4, 1, 6, 5?

17. На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способами турист може піднятись на гору і спуститись з неї? Дайте відповідь на те ж саме запи­тання, якщо підняття і спуск відбуваються: а) різними шляхами; б) однаковими шляхами.

18. Скільки різних цілих дільників має число 3³∙5²?

19. Із загону у 30 скаутів,  серед яких є наймолодший скаут Джон визначається караул із 3 чоловік. Скільки різних способів утворити караул?  Допоможіть Джону знайти,  у скількох випадках він попадає в караул.

20. В класі вивчають 14 предметів. В понеділок 7 уроків, причому всі уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

21. П'ять хлопчиків і 5 дівчаток сідають в ряд на 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити?

20. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «маразматика»?

21. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «футуристика»?

22. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо: Б не повинен виступати перед А;  якщо Б мусить виступити відразу за А?

23. У спортивному таборі  65  дітей вміють грати в футбол, 70  — у волейбол і  75  — у баскетбол. Всього дітей у таборі 100.  Яка а)найменша ; найбільша кількість дітей, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол?

Задачі комбінаторики

Варіант 3

1.В їдальні маємо  3 перших страви, і 2 других страв. Скількома способами можна скласти  обід із двох страв?

2. В алфавіті деякого коду є 4 ієрогліфи  і сім цифр. Скількома способами можна закодувати інформацію за допомогою коду, що складається із двох символів алфавіту, серед яких обов’язкова тільки одна цифра і тільки одна буква. 

3.У шкільній бібліотеці маємо сім різних книг Тараса Шевченка,  дві різні книги Григорія Сковороди, вісім  різних книг Миколи Гоголя. Скількома способами учень може зробити вибір трьох книг так, що серед них була одна книга будь-якого автора?

4. Маємо 5 різних стільців і 7 рулонів різного кольору для оббивки стільців. Скількома  способами можна здійснити оббивку стільців?

5.  Скільки цифр "2" у ряді чисел від 1 до 100?

6. Скількома способами можна обтягнути 6 стільців тканиною, якщо є тканина шести різних коль­орів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

7 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

8. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

9. Скількома способами можна скласти три­колірний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

10. Є 8 токарів.  Скількома способами можна доручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

11.  До профкому обрано 9 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. кількома способами це можна зробити?

12. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

13. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо:

1)      Б не повинен виступати перед А;

2)      якщо Б мусить виступити відразу за А?

14. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?

15.У розиграші першості країни з футбола бере участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

16.В наряд можна послати трьох чоловік, одного із п’яти офіцерів, одного із семи сержантів і одного із 20 солдат. Скількома способами можна скласти наряд?

17. Існує десять ліхтариків, кожен з яких може бути або включений, або виключений.Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх ліхтарів?

18. Скільки діагоналей у правильному а)шестикутнику; б) семикутнику?

19. 3 хлопчиків і 3 дівчаток сідають в ряд на 6 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити?

20. Скільки різних слів можна утворити переставкою букв у слові «арифметика»?

21. Скільки різних дільників має число 8²∙9⁴?

22. Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох букв і чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, використовуючи 30 букви  алфавіту.

23. На танцмайданчику зібралися 8 юнаків та 8 дівчат. Скількома способами вони можуть розбитися на пари для участі в черговому танці?     

24. Чемпіонат України по шахам проводиться в одне коло. Скільки грається партій, якщо участь беруть 18 шахматистів?

25. Скількома способами можна поселити 7 студентів у 3 кімнати: одномісну, двомісну та чотиримісну?     

26. Скільки чисел серед першої сотні натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5?

27. У класі з 40 учнів 30 уміють плавати, 27 уміють грати у шахи і тільки 5 не вміють ні того, ні іншого. Скільки учнів уміють плавати і грати у шахи?

28. У групі зі 100 туристів 70 знають ан­глійську мову, 45 - французьку і 23 - знають обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької?