Важливі думки про математику і математиків періоду капіталістичного розвитку людства

_____________________

Виняткове прагнення до узагальнень і абстрак­цій було не в дусі Ньютона і не в характері його генія; безсумнівно, що дальший широкий, мож­на сказати   неосяжний, розвиток аналізу нескін­ченно  малих,   який  пригнітив  надовго  всі  інші прийоми  математичного дослідження,  який по­тягнув  за  собою  уми   майже   всіх  математиків XVIII і XIX століть — цей великий рух, що так набагато розширив галузь науки і збагатив її та­кими численними дорогоцінними надбаннями,— цей великий, але все-таки односторонній рух мав своїм  джерелом   не   відкриття  Ньютона,   а  ідеї Лейбніца, які відзначалися небаченим до того ча­су в математиці потягом до узагальнення, абстра­гування і символізму. Ньютон стоїть на межі цієї знаменної в історії наук епохи; він зберігає не­від'ємне і гідне його генія право на першість від­криття, яке становило насущну потребу його часу і готувалося цілим рядом попередніх спроб, але він мало причетний до дальшого розвитку цього відкриття. Ньютон займався і цікавився матема­тичним аналізом, але він не дивився на нього  як на засіб і, тим менше як на загальний засіб дослід­ження в математиці. В галузі геометрії і механіки він не вважав необхідним постійно і систематично вдаватися до побічних прийомів і символів ал­гебри;  він прагнув,  головним чином,  до безпо­середнього  розуміння  предмета,— до  того,  щоб істина відкривалась  розумові як прямий  і оче­видний результат зусилля думки, а не як висно­вок з більш або менш довгого ряду абстрактних міркувань, хоч логічно й цілком переконливих, але таких, що  не мають прямого і ясного зв'язку з предметом, який досліджується [1887; 72, 47]. В. Я. Цінгер

_____________________

Багато хто шанує імена Ньютона і Лейбніца! Але мало хто має глибше уявлення про те вічне, що створене цими геніями! В них .корені нашого сучасного пізнання, в них істинне продовження прагнень античної мудрості [1904; 216, 57]. К. Ліндеман

_____________________

«Геометрія» Декарта з'явилась на світ... у 1637 р. Це,    безперечно,   найміцніший   пам'ятник   його слави (ХІХ; 13, 1, 93]. Д. Араго

_____________________

Навряд чи можна вважати випадком ту обстави­ну, що така людина, як Лейбніц, який був такою самою мірою абстрактним мислителем першого рангу, як і людиною видатних практичних обда­рувань, є одночасно як батьком суто формальної математики, так і винахідником першої обчислю­вальної машини [1903; 105, 1, 53]. Ф. Клейн

_____________________

Жодний елемент сучасної цивілізації не міг би існувати без принципів механіки, без аналітич­ної геометрії і диференціального числення. Не­має жодної галузі в діяльності людини, яка не зазнала б на собі сильного впливу генія Галілея, Декарта, Ньютона і Лейбніца ]19І4; 151, 3, 96].

Ф. Борель

_____________________

За своєю роллю серед великих математиків Анг­лії... Ісаак Ньютон протягом більш як двох століть був найпершим. Це не означає, що він знав більше математику, ніж хто-небудь інший на той час у світі чи навіть у Великобританії, але що в своїй галузі він досяг значно більше, ніж будь-який інший учений його днів [1946; 251, І, VII].

Д. Сміт

_____________________

...винайдення  [Непером]  логарифмів подіяло на весь світ більшою мірою, ніж інші математичні досягнення  його  країни.  Майстер,   який носить у своїй кишені логарифмічну лінійку, так само зобов'язаний генію лорда Мерчистонського [Не-пера],   як  астроном,   фізик  і  математик.   ...Його логарифми використовувались в усьому вченому світі протягом трьох останніх століть — це один з   найбільш   інтернаціональних   здобутків   світу науки [1946; 251, І, V]. Д. Сміт

_____________________

Щоб надати своїй системі математичної форми, Ньютон мав винайти поняття похідної і встано­вити закони руху у вигляді диференціальних рівнянь з повними похідними. Мабуть, це був найбільший прогрес у мисленні, якого коли-не­будь досягла одна людина [XX; 234, 4, 137].

А. Ейнштейн

_____________________

 [Вієт]... задовольнявся тим, що служив своїй батьківщині на другорядних посадах і в пізнішо­му віці взявся за математику за покликанням. Незважаючи на це, він займає становище найви-датнішого математика кінця шістнадцятого сто­ліття... [1946; 251,  І, III]. Д. Сміт

_____________________

Інтерес Вієта до математики мав практичний ха­рактер. Під час війни, між Францією і Іспанією він подав велику допомогу Генріху IV, розшиф­ровуючи таємні послання від іспанського короля. Код містив понад п'ятсот знаків, і іспанці відмов­лялись вірити, що хто-небудь міг розкрити ключ, визнаючи за краще приписати виявлене Вієтом мистецтво скоріше магії, ніж математиці [1946; 251, І, III]. Д. Сміт

_____________________

Великий внесок у математику, який зробив він [Декарт], втілений у додатку до трактату про ме­тод у науках. Він має просту назву Ьа Сеошеігіе, але його зміст був аж ніяк не звичайного зна­чення, бо він був одним з наймогутніших засобів просування математики того часу. В ньому суть аналітичної геометрії, застосування алгебри до геометрії або, правильніше, ідея їх взаємозв'яз­ку... Додаток виявився набагато важливішим, ніж сам трактат, він становив те, що англійський фі­лософ Джон Стюарт описав як «найбільший окре­мий крок, будь-коли зроблений у розвитку точ­них наук»  [1946; 251,  1, VI]. Д. Сміт

_____________________

Після Лейбніца, мабуть, уже не було людини, яка повністю охоплювала б усе інтелектуальне життя свого часу. З цього моменту наука стає де­далі більше справою спеціалістів, галузі компе­тенції яких виявляють тенденцію до все більшого звуження [1948; 49, 12]. Н. Вінер

_____________________

Галілей, який кинув виклик забобонові своїх су­часників і авторитету Арістотеля, є великим при­кладом мужності розуму [1954;  185, 30].

Д. Пойа

_____________________

...Ферма... зробив більше для розвитку теорії чисел, ніж будь-який інший учений протягом більш   як   тисячі   [попередніх]   років   [1938;   251,

II, XI]. Д. Сміт

_____________________

...Галілей, перший мислитель нового часу, що повністю усвідомив центральне значення мате­матичних методів у відкритті законів природи і поширював свої переконання з величезною силою [1965;  190, 34].

А. Реньї

_____________________

Уся діяльність Кеплера полягала в пошуках мате­матичних законів природи, в неодмінне існування яких він вірив [1912; 68, 585],

Д. О. Граве

_____________________

Математика XVIII ст. розвивалась в атмосфері свіжого впливу геніїв Декарта, Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Ньютона, Лейбніца. їх математичний доробок накреслив неписаний план для роботи кількох наступних поколінь математиків [1935; 117, 3]. М. П. Кравчук

_____________________

Велика справа Декарта — створення аналітичної геометрії — перекинула міст між алгеброю і гео­метрією [1943; 38, 153]. С. І. Вавилов

Велике відкриття Ньютона і Лейбніца — аналіз нескінченно малих живе, розвивається і потріб­ний з кожним днем усе більше. Це — основна форма сучасного природознавства й техніки, і немає можливості врахувати незліченні резуль­тати, які приніс із собою аналіз у галузь теорії і практики. В символах диференціальних і інтег­ральних рівнянь і так званого варіаційного чис­лення знайшли своє вираження найзагальніші принципи фізики [1943; 38, 232]. С. І. Вавилов

_____________________

...він [Лейбніц] протягом кількох років, ухиляю­чись від відкриттів у галузі математики, що сфор­мувались, наполегливо і старанно шукає лише одного: глибокої і творчої символіки нових чис­лень і, нарешті, в 1675 р. відкриває надзвичайно прості й проникливі позначення, які грунтуються на ідеї нескінченно малих, що лякала багатьох і здавалась безнадійно скомпрометованою мето­дом неподільних... Чи треба дивуватися, що символіка і термінологія аналізу нескінченно ма­лих, які вийшли з рук такого незрівнянного майстра, що з незвичайною гостротою бачив творчу силу всякого символу, виявились такими щасливими і творчими, що швидко завоювали на континенті панівне становище і навіть до цих днів лежать в основі сучасного математичного аналізу [1943;  139, 3, 407].

М. М. Лузін

_____________________

...Ньютон не тільки сам за методом стародавніх відкрив найвизначніший закон природи — закон всесвітнього тяжіння і його найголовніші засто­сування, але він дав і новий загальний метод, на­званий ним методом флюксій, який створив мож­ливість розв'язувати за певними правилами зада­чі зазначених вище наук [загальна механіка, не­бесна механіка, фізика, техніка]. Цей метод, не­залежно від Ньютона, був також відкритий під назвою диференціального й інтегрального чис­лення філософом Лейбніцом, і в руках таких, людей, як сім'я Бернуллі, Ейлер, Клеро, Лагранж, Лаплас, геніальний Гаусе, Коші, Пуассон, Фур'є, Остроградський, Фарадей, Максвелл, Менделєєв, Ляпунов, Рузефорд*, та незліченної кількості професорів і техніків, починаючи з Уатта, ство­рив сучасну фізико-математичну і фізико-техніч-ну науку в широкому розумінні цих слів. Першоджерело їхніх праць — це «Ргіпсіріа» Ньютона, кожне твердження яких за 250 років не тільки не забулось, а розрослося в цілі бібліо­теки посібників, трактатів, дисертацій і десятки тисяч журналів...  [1943;  119,  1, 2, 242]. О. М. Крилов

_____________________

Астрономічні галузі були його гігантською ла­бораторією, математичні методи — геніальним інструментом. Ньютон не захоплювався суто аст­рономічним і суто математичним боком праці, залишаючись переважно фізиком. У цьому незви­чайна витримка й економічність думки Ньютона. До Ньютона і після нього, до нашого часу, люд­ство не бачило прояву наукового генія більшої сили [1943; 38,  196]. С. І. Вавилов

_____________________

Найкращим пам'ятником генію є старанне ви­вчення його праць; так вчинила наша Академія щодо великого Ньютона  [1943;   119,   1, 2, 322].

О. М. Крилов

_____________________

До Галілея протягом тисячоліть наука описувала явища, пояснювала їх і приводила іноді до по­будови корисних приладів та машин. Галілей уперше показав, що наука здатна на більше, на відкриття нових, несподіваних явищ, які незви­чайно розширюють відому нам природу. Тому Галілея порівнювали з Колумбом і навіть з богом-творцем, який створює світ, раніше не відо­мий [1943; 38, 33].      С. І.  Вавилов

_____________________

Галілей, найвправніший спостережник і експери­ментатор, прекрасний математик, умілий прак­тичний механік, мислитель і поет, повалив учен­ня Арістотеля про рух, що існувало протягом 2000 років, і заснував ту механіку, якою ми кори­стуємося досі [1943; 119, 1, 2, 218].

О. М. Крилов

_____________________

Безсмертний твір Ньютона пройнятий такою си­лою думки і глибиною, які не піддаються описові, що не міг бути зразу оцінений його сучасниками. Але в міру того, як стали розуміти істинний зміст значення його прекрасної праці, слава Ньютона почала рости й затьмарювати собою славу всіх ве­ликих учених античного світу, середніх віків і першого періоду нового часу. Вже найближчі його послідовники, здивовані величчю зроблено­го Ньютоном, характеризували його твір як «найвеличніший і неперевершений витвір люд­ського розуму», а про нього самого найвидатніші вчені пізніших часів говорили: «Із здиву­ванням запитуємо ми: до якого роду належить людина, що могла вражати цим гігантським ме­чем, який інші ледве були спроможні лише підні­мати з землі?» [1943; 139, 3, 401]. М. М. Лузін

_____________________

...думка Ньютона до невпізнання змінила обличчя математики,  фізики  й  астрономії  [1943;   139,   З,401]. М. М. Лузін

_____________________

Галілей з надзвичайною прозорливістю висунув на перший план математичні методи дослідження законів природи. Він стає майже ліричним, коли говорить про значення математики для пізнання природи. Після Архімеда він заново ставить гли­бокі проблеми, пов'язані з поняттями неперервно­сті й нескінченності, нескінченно малих і непо­дільних [1964; 56, 1, 9]. О. Ю. Ішлінськийй

МАТЕМАТИКИ XVIII СТОЛІТТЯ

Даламбер зірвав з диференціального числення покрив тайни і тим самим зробив величезний крок вперед [1881; 2, 174]. К. Маркс

_____________________

Велика заслуга Лагранжа полягає не тільки в тому, що він обгрунтував за допомогою чисто алгебраїчного аналізу теорему Тейлора і взагалі диференціальне числення*, а й у тому, що він ввів саме поняття похідних функцій... [1881; 2, 203]. К. Маркс

_____________________

Вивчення творів Ейлера буде найкращою школою в різних галузях математики, і ніщо інше не може замінити його [XIX; 198, 162].

К. Гаусс

_____________________

Ейлер обчислював без усякого видимого зусилля, як люди дихають, як орли тримаються в повітрі [XIX; 239, 2, 133—134].

Д. Араго

_____________________

Ейлер повів за собою наступні покоління і на­вчив їх думати й писати так, як думав і писав він сам. Читання його праць — найлегша і найко­рисніша справа. Він поєднав у своїй особі славу великого перетворювача із славою дуже зрозумі­лого й дуже витонченого письменника. Ейлер створив сучасний аналіз, один збагатив його більше, ніж усі його послідовники, разом узяті, і зробив його наймогутнішим знаряддям людського розуму. Він один зумів охопити ана­ліз в усій його повноті й знайшов йому найчис-ленніші та найрізноманітніші застосування [1844; 95, 7, 635].

М. В. Остроградський

_____________________

Серед учених, які прославили XVIII століття невмирущими своїми відкриттями в науках, перше  місце  займає  Леонард Ейлер  [1844;   154,

3091. М. В. Остроградський

_____________________

...після того як Декарт дав спосіб виражати рух у просторі за трьома рухами на осях координат і аналіз нескінченно малих, відкритий Ньютоном і Лейбніцом, увійшов у загальне користування, у дослідженнях з теоретичної механіки став де­далі більше переважати аналітичний метод, який у творах Лагранжа і його послідовників досяг своєї найвищої точки [1894; 90, 7, 9—10]. М Є. Жуковський

_____________________

...щасливим міркуванням проникливий геометр [Лаплас], не виходячи із свого кабінету, виразив віддаль Сонця від Землі в земних радіусах, ді­ставши майже той самий результат, який був знайдений після важких і дорогих подорожей [XIX; 13, 1, 211].

Д. Араго

_____________________

...Лаплас, я гадаю, лишається досі найкращим керівником людини, яка бажає вправно займати­ся математикою. Важливе не те, що які-небудь дрібниці в Лапласа застаріли; важливий рух серйозності і вправності, що проймає всі його праці, важлива ясність і сила думки його [1876;

228, 14, 690]. М. Г. Чернишевський

_____________________

П'ять геометрів — Клеро, Ейлер, Даламбер, Лагранж і Лаплас — поділили між собою світ, від­критий Ньютоном. Вони дослідили його в усіх напрямах, проникли в сфери, що вважались не­доступними, і вказали явища, невловимі за допо­могою спостережень; нарешті, вони повністю підкорили одному принципу, одному закону найтаємничіші небесні явища, так що геометрія наважилась пророкувати майбутнє, і з часом пе­редбачення гордої науки справдились [XIX; 13, 1, 198].

Д. Араго

_____________________

...для Ейлера аніскільки не були обтяжливими обчислення, і ніякі формули ніколи не утрудню­вали його: такою була проникливість Ейлера, що найгроміздкіша формула гнулась у його силь­них руках, як м'який віск, і слухняно давала під його зусиллями все, що вгадувала в ній його про­никливість... Можна без перебільшення сказати, що в очах Ейлера математичні формули жили своїм власним життям і розповідали найглибші речі про явища природи і що йому досить було лише доторкнутись до формул, щоб вони з німих перетворились на такі, які говорять і дають від­повіді, сповнені глибокого змісту [1933; 139, З, 357].

М. М. Лузін

_____________________

Кому не відоме ім'я Ейлера? Хто ще на шкільній лаві не звик дивитись на ім'я Ейлера в сузір'ї імен Гюйгенса, Ферма, Лейбніца, Ньютона, Бернуллі, д'Аламбера? Але мало хто з учених знає, якою значною була стихійна творча сила цієї людини, що зближувала її з такими людьми XVI ст., якими були Леонардо да Вінчі й Мікел-анджело. І мало хто навіть з математиків знає, наскільки міцними зв'язками з'єднані вони й за­раз з працями Ейлера і з якою силою тяжіє над ними навіть тепер думка Ейлера [1933; 139, З, 351].

М. М. Лузін

_____________________

Ейлерова слава й популярність є наслідок не тіль­ки незрівнянної сили його генія. До них спри­чинилась надзвичайна ширина його засягу в науці: важко вказати таку ділянку математичних наук, де б він не утворив нової галузі або мо­гутньо не посунув наперед її розвиток. Цей, за висловом д'Аламбера, «диявол у людській подо­бі», натворив за своє життя (при тім довгі роки у сліпому стані) більше, аніж за цей час середня людина могла б просто списати [1935;  117, 4]. М. П. Кравчук

_____________________

...створивши нові методи, показавши їх застосу­вання до розв'язання нових питань, Ейлер, так би мовити, проклав нові шляхи для швидкого ру­ху науки вперед. За ним ідуть такі великі мате­матики, як Лагранж, Лаплас, Лежандр, Гаусе, Коші, Пуассон, Якобі, Абель і багато інших, а якою мірою вони високо ставили Ейлера, можна судити із слів Лапласа: «Читайте Ейлера, читай­те,— він учитель усіх нас»  [1933;  119,  1, 2, 207].

О. М. Крилов

_____________________

Д. Бернуллі мав терпіння звільняти себе від об­числень тим, що попереду, з великою проникли­вістю і майстерністю ставив досліди й на основі їх робив вибір між гіпотезами, які інакше вима­гали б величезних обчислень [1933;  139, 3, 357], М. М. Лузін

_____________________

Лагранж написав порівняно небагато праць з теорії чисел та алгебри, і не вони становлять го­ловний вінець слави творця аналітичної механіки. Проте доводиться дивуватись тій глибині дум­ки, якою пройняті ці його праці, і принциповій важливості їх результатів [1936; 88, 85].

М. V. Чеботарьов

_____________________

В особі Лагранжа ми маємо класичний приклад математика, який прийшов на допомогу астроно­мам, але не став астрономом [1936; 88, 48].

М. Ф. Суботін

_____________________

...Лагранж  мав рацію, що, не зупиняючись на частковостях, надав своєму викладу найбільш загальної аналітичної форми; тому його методи однаково застосовні й до розрахунку руху не­бесних тіл, і до хитання корабля на хвилях, і до розрахунку гребного вала на кораблі, до роз­рахунку польоту 16-дюймового снаряда й до розрахунку руху електронів в атомі. Звідси мож­на робити висновок про незвичайну геніальність творця цих методів — Жозефа Луї Лагранжа [1936;  119,   1, 2, 278].

О. М. Крилов

_____________________

...до астрономічних тем Лагранж підійшов не як природодослідник, що бажає глибше проникнути в таємниці природи, а як математик, що шукає нових проблем, прагне розширити коло засто­сування своїх методів. Цим Лагранж відрізняєть­ся від Ньютона чи Лапласа, які були насамперед природодослідниками, і навіть від Гаусса, що був такою ж мірою природодослідник, як і мате­матик [1937; 88, 48].

М. Ф. Суботін

_____________________

Ейлер належить до геніїв, чия творчість стала над­банням усього людства [1958;  136, 7]. М. О. Лаврентьєв\

_____________________

Ейлер був насамперед математиком, що сприймав і розвивав математику як єдине ціле, але він знав, що грунтом, на якому розквітає математи­ка, є практична діяльність [1958;  136, 7].

М. О. Лаврентьєв

_____________________

...ми шануємо в Ейлері великого вченого, що дав могутній поштовх розвитку математики, як найважливішого засобу дослідження приро­дознавства й техніки і підкорення природи лю­диною [1958;  136,  15].

М. О. Лаврентьєв

_____________________

МАТЕМАТИКИ XIX СТОЛІТТЯ

...Абель упереджував багато моїх думок і при­близно на третину полегшив мою задачу, ви­клавши результати [про трансцендентні функції] з більшою строгістю і витонченістю [1828; 174, 233].

К. Гаусс

_____________________

Проживши зовсім коротке життя, [Абель] встиг зробити так багато, що цього цілком досить для того, щоб залишити про нього довгу пам'ять; легко уявити собі, чого б він досяг, якби доля вирішила інакше [1829;  174, 294]. А. Лежандр

_____________________

Абель — щасливець! Він зробив дещо вічне! Його ідеї будуть завжди оплодотворяти нашу науку!

[XIX; 24, 445]. К. Вейєрштрасс

_____________________

Для праць цих молодих математиків [Абеля та К. Якобі] характерні прекрасне володіння найви-тонченішими методами аналізу і велика винахід­ливість у використанні нових ідей. Завдяки їх успіхам наука досягла таких висот, що слідом за вже забутими глибокими результатами можна чекати багато нових, не менш важливих [1827; 174, 269]. А. Лежандр

_____________________

У 1830 році на науковому небосхилі засвітилася зірка незвичайної яскравості — Еваріст Галуа [XIX; 231, 89]. Ф. Клейн

_____________________

...У якому випадку рівняння може бути розв'яза­не алгебраїчно? Це важке питання було повністю розв'язане... Еварістом Галуа, колишнім студен­том Нормальної школи і одним з найглибших геометрів*, яких дала Франція [XIX; 250, 1, 3—4]. Ж. Серре

_____________________

...мною оволоділо велике бажання якнайбільше прочитати про цього кмітливого математика [Ло­бачевського]  [XIX;  152, 415—416].

К. Гаусс

_____________________

У розвитку [системи неевклідової геометрії] автор іде іншим шляхом, відмінним від того, яким ішов я сам; він виконаний Лобачевським майстерно в справжньому геометричному дусі. Я вважаю на­лежним звернути Вашу увагу на цю книгу**, яка, очевидно, принесе Вам виняткову насолоду

[1846; 238, 252]. К. Гаусс

_____________________

Я вважав цього молодого геометра фон Бояї ге­нієм першої величини [1832; 241, 8, 220].

К. Гаусс

_____________________

...чим Коперник був для Птолемея, тим Лобачев­ський був для Евкліда. У Коперника і Лобачев­ського цікава спільна деталь — обидва вони слов'яни за походженням; кожний з них зробив революцію в наукових поглядах, і обидві ці ре­волюції мають однаково велике значення — це революції в нашому розумінні космосу [1879; 243, 298—299].

В. Кліффорд

_____________________

Келі, Ерміт і я становимо інваріантну трійцю [XIX; 24, 459].

Дж. Сільвестр

_____________________

Келі... хоч і молодший за мене, є моїм духов­ним батьком,— він перший відкрив мої очі і звільнив їх від бруду, так що вони змогли поба­чити і сприйняти вищі таємниці нашої загальної математичної віри [XIX; 24, 460].

Дж. Сільвестр

_____________________

Мені здається, що поет повинен бачити те, чого не бачать інші, бачити глибше від інших. І це саме повинен і математик.

Щодо мене, то я все моє життя не могла вирі­шити: до чого в мене більше нахилу — до мате­матики чи до літератури [1890; 107, 311].

С. В. Ковалевська

_____________________

...історія математики говоритиме про неї [С. В. Ковалевську], як про одну з найвинятко-віших дослідниць [XIX; 247, 74].

Л. Кронекер

_____________________

Ми повинні бути вдячні Софії Ковалевській за те, що вона вивела Вейєрштрасса з його стану замкненості [XIX;  106, 321].

Ф. Клейн