РОЗКЛАД НА МНОЖНИКИ МНОГОЧЛЕНІВ. Сума та різниця степенів двох цілих виразів.

Досить часто для розкладу на множники використовують  формули скороченого множення:

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

n² – 4 = n² – 2² = (n – 2)(n + 2);

a² – 36 = a² – 6² = (a – 6)(a + 6);

                              64 - b²  = 8² – b² = (8–b)(8 +b).

1 – a⁶ =  1² – (a³)² = (1 – a³)(1 + a³);

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a–b)(a² +аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a+b)(a² –аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

p³ + g³ = (p + g)(p²  – pg + g²);

8 – a³ =  2³ – a³ = (2 – a)(4 + 2a + a²);

c³ + 8x³ =  c³ + 2³x³ = (c + 2x)(c² - 2xc + 4x²);

1 – a⁶ =  1³ – (a²)³ = (1 – a²)(1 + a² + a⁴);

a³ + c⁶ = a³ +(c²)³  =  (a + c²)(a² - ac² + c⁴);

27 + a³b³ = 3³ + a³b³  = (3 + ab)(9 - 3ab + a²b²);

p³x⁶  + 1 = (px² + 1)(p²x⁴ - px² + 1);

= (3m + n²)(9m² - 3mn² + n⁴);

a³c³ +27x³ = (ac + 3x)(a²c²   - 3acx + 9x²);

– c⁶ + 27x³ = (3x - c²)(9x² 3xc² + c⁴);

a⁶c⁹ - 27x³ = (a²c³ - 3x)(a⁴c⁶ + 3xa²c³ + 9x²).

а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³+а²b+аb² + b³);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵– b⁵= (a–b)(a⁴+а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴–а³b + а²b² –аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ– bⁿ= (a–b)( a^n-1+а^n-2b + а^n-3b² +… +а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

аⁿ– 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

a±b)⁰ = 1;

(a±b)¹ = a±b

Квадрат  двочлена:

(a + b)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

1 + 2b + b² = 1² + 2∙1b + b² = (1 + b)²

4 + 4b + b² = 2² + 2∙2b + b² = (2 + b)²;

49 – 14b + b² = 7² – 2∙7b + b² = (7 – b)²;

64 + 16b + b² = 8² + 2∙8b + b² = (8 + b)²;

400 – 40b + b² = 20² – 2∙20b + b² = (20 – b)²;

4 + 12b + 9b² = 2² + 2∙2∙3b + 3²∙b² = (2 + 3b)².

Розв’язати рівняння:

a) x² - 6x + 9 = 0;   б) z² + 4z + 4 = 0;     в)5y² - 40y + 80 = 0.

г)  c² + 9 = 6c;   д) y² + 4 = 4y;  ж) 2x² + 2 - 4x = 0; з)  x – 1= 0,25x².

Розв’язання:

a) x² - 6x + 9 = 0

x² - 2∙3x + 3² = 0;    (x - 3)(x - 3) =0;   x - 3 = 0;    x = 3.

Biдповідь: x = 3.

б) z² + 4z + 4 = 0

   z² + 2∙z∙2 + 2² = 0;   (z + 2)(z + 2) = 0;   z + 2 = 0, z = -2.

Biдповідь:  z = -2.

в) 5(y² - 8y + 16) = 0

5(y² - 2y∙4 + 4²) - 0;    5(у- 4)(y - 4) = 0;    y - 4 = 0, у = 4.

Biдповідь: y = 4.

г)  c² + 9 = 6c

с² - 6c + 9 = 0;  c² - 2 ∙c ∙3 + 3² = 0;  (c - 3)(c - 3) = 0;  c – 3 = 0; c = 3.

Biдповідь: c = 3.

д) y² + 4 = 4y;

у² - 4y + 4 = 0;    y² - 2∙y∙2 + 2² = 0;

(y - 2)(y - 2) = 0;    y - 2 = 0;   y = 2.

Biдповідь: y = 2.

ж) 2x² + 2 - 4x = 0;

2(x² - 2x + 1) - 0;   x² - 2x∙1 + 1² = 0; (x - 1)(x - 1) = 0;    x– 1 = 0;    x = 1

Biдповідь: x = 1.

з)  x – 1= 0,25x²

0,25x² - x + 1= 0;    (0,5x)² - 2 ∙0,5x ∙ 1 + l² = 0; (0,5x - l)(0,5x - 1) = 0;   

0,5x -1 = 0;    0,5x = 1

х = 2

Biдповідь: x = 2.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

 (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

27 + 27b + 9b² + b³  = 3³ + 3∙3²b + 3∙3b² + b³ = (3 + b)³;

1 + 3m + 3m² + m³  = 1³ + 3∙1²m + 3∙1∙m² + m³ = (1+ m)³ ;

64  – 48c + 12c² – c³  = 4³ – 3∙4²c + 3∙4c² – c³ = (4 – c)³;

8 – 12n + 6n² – n³  = 2³ – 3∙2²n + 3∙2n² – n³ = (2 – n)³ .

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² +b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ±b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n

аⁿ+ bⁿ= (a+b)( a^n-1-а^n-2b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

a²ⁿ⁺¹+ 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

а³ + b³+c³ -3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a+b+c)² = a² + b² +c² +2аb+2bc+2ac;

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул.

Використовуючи формули скороченого множення, розкладіть на множники многочлени:  

9a² + 24ab +16b²;              4a² – 9;                     9n² – 25m²;

16m² – 81n²;                      49z² – 100v²;            64a² – 900b²;

4900z² – 2500d²;                y³ + 1000;                 y³ + 125x³;

m⁴ – 16;                              n⁶ – 1;                        m⁸ – 1;

x² – y² – zx – zy;                  x² – 4 – ax – 2a;       t² + t⁴ – y⁴ – y²;

z² – 6zt + 9t² - 3z²  + 9zt;    3a² – 18a + 27;          r³  –  4r + 16 – 4r²;

49x² - (5x + y)²;                   (3 - 2u)² + 2(3 - 2u) + 1;      m⁵ – 32;                              

(2 + t)³  - (t - 2)³;                   (r - 1)³ + (r + 1)³.

Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.

Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:

x⁴ - (2 - x²)² = 0

Використаємо різницю квадратів a² – b² = (a–b)(a+b) і розкладемо на множники ліву частину рівняння:

(x² - 2 + x²)(x² + 2 - x²) = 0;  

 (2x² - 2) • 2 = 0

4(x² - 1) = 0;   

(x -1)(x + 1) = 0;  

x – 1 = 0;    x₁ = 1

x + 1 = 0;    x₂ = -1

Відповідь:x₁ = -1; x₂ =1.

Використовуючи формули скороченого множення, розв'яжіть рівняння:       

x⁴ - (25 - x²)² = 0;              x⁴ - (16 - x²)² = 0;             x⁴ - (49- x²)² = 0;

(x – 5)⁴ - (25 - x²)² = 0;    (x –4)⁴ - (16 - x²)² = 0;    (x – 7)⁴ - (49- x²)²=0;

x⁴ - (36 - x)² = 0;              x⁴ - (81- x)² = 0;               x⁴ - (64- x)² = 0;

x² - (36 - x)² = 0;              x² - (1- x)² = 0;                 x² - (4- x)² = 0;

64 + n³ = 0;                     125 + n³ = 0;                    216 - n³ = 0.                   

РОЗКЛАД  НА МНОЖНИКИ МНОГОЧЛЕНІВ

СТУПЕНІ БІЛЬШЕ 2

Для будь-якого многочлена степеня більше 2 доводиться, що існує квадратний тричлен, на який даний многочлен ділиться без остачі.

Для многочлена третього степеня

Р₃(х) = ах³ + bх² + сх + d 

можливе одне з двох:

a) або він розкладається в добуток трьох лінійних двочленів, тобто        

Р₃(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃),

де числа  x_1,  x_2,  x₃  - нулі многочлена  третього ступеня не обов'язково різні

б)  або він розкладається в добуток двочлена і квадратного тричлена, тобто

Р₃(х) = а(х - x₁)(х² + px + q).

Приклад.   Розкласти многочлени на множники:

а) х³ + х – 2;      б) х³ – 3х + 2.

Розв’язання.

а) х³ + х – 2 = (х³ – 1) + (х – 1) = (x - 1)(х² + x +1)+(х +1)= (x - 1) (х² + x +2).

Дискримінант квадратного тричлена х² + x +2 менше нуля; тому на множники він не розкладається.

б) х³ – 3x + 2 = х³ – x – 2x + 2  =  х (х² – 1) – 2(х – 1) = (х–1)(х+1)х–2(х–1) =  (х–1)(х² + х – 2) = (х–1)(х² – 1+ х – 1)= (х-1)(х-1)(х + 2) =

= (x-1)²(х+2).

Многочлен четвертого степеня

Р₄ (х) = ах⁴ + bх³ + сх² + dх + f

розкладається:

а) або  на добуток чотирьох двочленів:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃)(х – x₄),

де числа x_1,  x_2,  x_{3 ,} x₄  нулі многочлена четвертого ступеня  не обов'язково різні;

б) або на добуток двох двочленів і   квадратного тричлена:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х² + pх +q),

де числа x_1,  x₂  не обов'язково різні;

в) або на добуток двох квадратних тричленів:

Р₄(х) = a(х² + cх + b)(х² + px + q),

де одночасно можлива рівність с = p  і b = q.

Приклад.   Розкласти на множники:

а) х⁴ – 5х² + 6;       б) х⁴ + 5х² + 6;      в) х⁴ + х³ – х – 1;  г) х⁴ + 4.

Розв’язання.

а) х⁴ - 5х² + 6 =  (х² - 3)(х² - 2) =  (х - 3^0,5)(х + 3^0,5)(х– 2^0,5)(х + 2^0,5);

б) х⁴ + 5х² + 6 =  (х² + 3)(х² + 2);

в) х⁴ + х³ – х – 1= х³(х+1) – (х+1) =  (х+1)(х³-1) = (х+1)(x -1)(х² + х+1);

г) х⁴ + 4 = х⁴ + 4х² + 4 – 4х² = (х² + 2)² – (2х)² = 

= (х² – 2х + 2)(х² + 2х + 2).

У загальному випадку  многочлен n-го степеня

Р_n(х) = а₀ хⁿ + a₁ х^n-1 + a₂ х^n-2 + a₃ х^n-3 +… + a_n

Можна записати єдиним чином у вигляді добутку многочленів, степінь кожного з яких не більше 2, тобто кожний з яких або двочлен лінійного вигляду, або квадратний тричлен, що не має коренів.

Можливість виділення у многочлена лінійних множників пов'язана з  наявністю у  цього многочлена нуля(корення).

Твердження  про коріння многочлена:

Многочлен n-й степеня має не більше n дійсних коренів (з урахуванням їх кратностей).

Многочлен непарного степеня має хоч би один дійсний корінь.

Комбіновані способи розкладання на  множники

Є багато таких многочленів від декількох змінних, розкладання яких на множники вимагає неабиякої кмітливості.

Наприклад, розкласти на множники многочлен:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³

Розв’язання: 1 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = ((a – b)³ + (b – c)³) + (c – a)³ =

= ((a -b) + (b - c))((a - b)² - (a - b) (b - c) + (b- c)²) + (c – a)³ =

= (a – c)((a-b)²-(a-b)(b-c) + (b-c)² )-(a-c)³ =

= (a – c)((a – b)² – (a – b)(b – c)+(b – c)² – (a – c)²) =

= (a – c)(a² – 2ab + b² – ab +ac + b² – bc +b² – 2bc + c² – a²+ 2ac – c²) =

= (a – c)(3b² – 3ab + 3ac – 3bc) = 

= 3 (a – c)(b² – ab + ac – bc) =

= 3(a – c)((b³ – ab ) – (bc – ac)) =

= 3(a – c) (b(b – a) – c (b – a)) =

= 3(a – c)(b – a)(b – c) =

= 3 (a – b)(b – c)(c – a).

Набагато простіше і природніше таке розв’язання:

2 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ =

a³ – 3a²b + 3ab² – b³+ b³ – 3b²c + 3bc² – c³ + c³ – 3c²a + 3ca² – a³ =

= -3a²b + 3ab² – 3b²c + 3bc² – 3c²a + 3ca² =

=  -3ab(a – b) + 3c(a² – b²) – 3c² (a – b)  =

= 3(a – b)((a + b)c – ab – c²) = 3(a –b)(a(c – b) + c(b – c)) =

= 3(a – b)(b – c)(c – a).

Пропонуємо розглянути  такі приклади:

1. a⁴ + 4 = a⁴ + 4a² + 4 – 4a² = (a² + 2)² – 4a² = (a² – 2a + 2)(a² + 2a + 2);

2. a⁴ + a² + 1 = a⁴ + 2a² + 1 – a² = (a² + a + l)(a² – a + 1);

3. а⁵ + a +1 = a⁵ + a⁴ – a⁴ + a³ – a³ + a² – a²  + a + 1 =

= (a⁵ + a⁴ + a³) – (a⁴ + a³ + a²) + (a² + a + 1) = (a² + a + l)(a³ – a² + 1);

4. a¹⁰ + a⁵ + 1 =

(a¹⁰ + a⁹+ a⁸) – (a⁹ + a⁸ + a⁷) + (a⁷ + a⁶ + a⁵) – (a⁶ + a⁵ + a⁴) +

+ (a⁵ + a⁴ + а³) – (a³ + a² + a) + (a² + a + 1) =

= (a² + a + 1)(a⁸ – a⁷ + a⁵ – a⁴ + a³ – a + 1);

5. a³ + b³ + c³ – 3abc =

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + c³ – 3abc –3a²b – 3ab² =

= ((a + b)³+ c³) – 3ab(a + b + c) =

= (a + b + c)(a² + 2ab + b²  – ac – bc + c²) –3ab(a +b + c) =

= (a + b +  c)(a³ + b³ + c² – ab – ac – bc).