Квадратне функціональне рівняння з постійними коефіцієнтами

Квадратне функціональне рівняння з постійними коефіцієнтами

Квадратні тричлени від функції

Означення.  Квадратним тричленом  стандартного виду від функції дійсної змінної х з постійними коефіцієнтами назива­ють математичний вираз такого вигляду:

аf²(х) + bf(х) + с,

де,  f(х): R~R (в окремих випадках  розглядатимемо функцію f(х): R~R /{0}  ),  а ¹0, а, b і с – дійсні (сталі) числа.

Зауваження: Треба розуміти, що

 bf(х)  = bf¹(х),  

с = сf⁰(х) ,

а f²(х) =  аf²(х) + 0f(х)  + 0,

У квадратного тричлена від функції дійсної змінної х постійними коефіцієнтами мають місце такі назви:

а – старший коефіцієнт,

b - другий (лінійний) коефіцієнт,

с -  вільний член квадратного тричлена.

Приклади:

1)Зразки стандартних квадратних тричленів від тригонометричних функцій:

аsin²(х) + bsin(х) + с,

аcos²(х) + bcos(х) + с,

аtg²(х) + btg(х)  + с,

аctg²(х) + bctg(х)  + с,

аsec²(х) + bsec(х)  + с,

аcosec²(х) + bcosec(х)  + с.

2) Зразки стандартних квадратних тричленів від логарифмічних функцій:

аln²(х) + bln(х) + с,

аlog _n²(х) + b log _n(х) + с,

аlg²(х) + blg(х)  + с.

3) Зразки стандартних квадратних тричленів від показникових функцій:

аn^2х + bn^х + с,

ае^2х + bе^х+ с,

аq^2f(х) + bq^f(x)+ с,

4) Зразки стандартних квадратних тричленів від обернених тригонометричних функцій:

Аarcsin²(х) + Barcsin(х) + C,

Aarccos²(х) + Barccos(х) + С,

Аarctg²(х) + Barctg(х)  + С,

Аarcctg²(х) + Barcctg(х)  + С,

Аarcsec²(х) + Barcsec(х)  + С,

Аarccosec²(х) + Barccosec(х)  + С.

5) Зразки стандартних квадратних тричленів від степеневих функцій:

ах⁴ + bх² + с,

ах^m + bх^m/2 + с,

ах^m/n + bх^m/2n + с,

6) Зразки стандартних квадратних тричленів від цілих многочленів:

a(kх+l) ² + b(kх+l) + C,

a(х² + kх + l) ² + b(х² + kх + l) + C,

a(k_m х^т +…+ k₁ х + k₀) ² + b(k_m х^т +…+ k₁ х + k₀) + C,

6) Зразки стандартних квадратних тричленів від дробово-раціональних функцій, яких чисельник і знаменник цілі многочлени:

a(K_n(х)/L_m(x)) ² + b(K_n(х)/L_m(x ))+ C.

Означення.  Квадратним тричленом  стандартного виду від функції дійсної змінної х з параметричними коефіцієнтами назива­ють математичний вираз такого вигляду:

а(t)f²(х) + b(t)f(х) + с(t),

де,  f(х): R~R (в окремих випадках  розглядатимемо функцію f(х): R~R /{0}  ),  а(t) ¹0, а(t), (t) і с(t) – дійсні функції.

Квадратні рівняння від функції

Означення.  Квадратним рівнянням  стандартного виду від функції дійсної змінної х з постійними коефіцієнтами назива­ють математичний вираз такого вигляду:

аf²(х) + bf(х) + с = 0,

де,  f(х): R~R (в окремих випадках  розглядатимемо функцію f(х): R~R /{0}  ),  а ¹0, а, b і с – дійсні (сталі) числа.

Означення.  Дійсним коренем квадратного рівняння   стандартного виду від функції дійсної змінної х з постійними коефіцієнтами

аf²(х) + bf(х) + с = 0,

назива­ють таке дійсне число х₀  з області визначення функції f(х), що рівність має зміст і виконується:

аf²(х₀) + bf(х₀) + с = 0.

Дійсні корені квадратних тричленів від функції дійсної змінної х постійними коефіцієнтами шукають через заміну  

z = f(х)

у виразі

аf²(х) + bf(х) + с.

Утворити квадратне рівняння  

аz² + bz + с = 0.

Розв’язати це квадратне рівняння. Якщо дійсні розв’язки не існують, то зробити висновок  про те, що квадратний тричлен від функції  f(х) немає дійсних коренів.

Якщо дійсні розв’язки існують, то класичним способом знайти  розв’язки і перейти до повернення до заміни

z₁ = f(х) та z₂ = f(х).

Треба переконатися, чи знайдені корені входять в область дійсних значень дійсної функції f(х). Відкинути ті  корені, які не входять до області дійсних значень дійсної функції f(х). І далі розв’язувати тільки рівності,  Якщо визначена та існує згідно області визначення і області значення взаємно-обернена функція

f ^-1(х), до f(х),

то отримати корені можна, якщо до обох частин рівності 

z₁ = f(х) та z₂ = f(х).

застосувати дію взаємно-оберненої функції і записати корені:

х₁ = f ^-1(z₁), х₂ = f ^-1(z₂).

Досить часто рівняння z₁ = f(х) та z₂ = f(х) мають складену функцію, до якої не застосуєш одразу взаємно-обернену функцію і доводиться знаходити унікальний спосіб  розв’язання даного рівняння.

Обернена функція – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими компонентами і різними другими компонентами(означення функції) і немає пар з однаковими другими і різними першими компонентами(обернена). Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а графік її в декартовій системі координат не має однакових точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також і точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.

Дуже важливе зауваження.

До квадратного тричлена  стандартного виду від функції дійсної змінної х з постійними коефіцієнтами на практиці застосовують такі завдання:

1) знайти усю множину дійсних функцій f_n(х),  n={1, 2…, k}, які задовольняють рівняння

аf _n²(х) + bf_n(х) + с = 0,

 на деякій множині дійсних чисел(це може бути або вся область визначення функції f_n(х), або деяка її підмножина цієї області), або довести, що таких функцій не існує;

 2) знайти усю множину дійсні корені х_n,  n={1, 2…, k},   з області визначення функції f(х), що рівність має зміст на множині дійсних чисел і при цьому виконується рівність:

аf²(х₀) + bf(х₀) + с = 0,

або довести, що дійсних коренів не існує.

Завдання 1) узагальнює завдання 2).

Звертаємо вашу увагу на те, що існування дійсних коренів 

х_n,  n={1, 2…, k},

у завданні 2) одразу вказує на існування функцій-розвʼязків у множині дійсних функцій f_n(х) із завдання 1).

Наприклад, нехай у завданні 2) отримано корінь

х₁ =  g, де g - дійсне число,

тоді можна проявити творчість і фантазію і утворити із відомих нам класичних функцій деяку множину  функцій-розвʼязків квадратного функціонального рівняння з постійними коефіцієнтами:

f₁(х) = g + 0х,

f₂(х) = gsin²(4х-3)^0,5+ gcos²(4х-3)^0,5.

f₃(х) = g, де х – ірраціональне число.

f₄(х) = (1/g)2^2 log₂^/g/, де х – раціональне число.

Властивість. Квадратне функціональне рівняння з постійними дійсними коефіцієнтами

аf²(х) + bf(х) + с.

має розв’язками дійсні функції, тоді і тільки тоді, коли має розвʼязки  звичайне квадратне рівняння з тими самими коефіцієнтами.

Означення. Квадратне функціональне рівняння з лінійним аргументом і з постійними дійсними коефіцієнтами це рівняння такого вигляду

аf²(mt + n) + bf(mt + n) + с = 0.

Означення. Квадратне функціональне рівняння з квадратичним аргументом і з постійними дійсними коефіцієнтами це рівняння такого вигляду

аf²(kt² + mt+ n) + bf(kt² + mt+ n) + с = 0.

 Означення. Квадратне функціональне рівняння з лінійним аргументом і з постійними дійсними коефіцієнтами це рівняння такого вигляду

аf²(mt + n) + bf(mt + n) + с = 0.

Означення. Квадратне функціональне рівняння з квадратичним аргументом і з постійними дійсними коефіцієнтами це рівняння такого вигляду

аf²(kt² + mt+ n) + bf(kt² + mt+ n) + с = 0.

Означення. Лінійне  функціональне рівняння з лінійним аргументом і з постійними дійсними ненульовими коефіцієнтами це рівняння такого вигляду

bf(mt + n) + с = 0.

Означення. Лінійне функціональне рівняння з квадратичним аргументом і з постійними дійсними ненульовими коефіцієнтами це рівняння такого вигляду

bf(kt² + mt + n) + с = 0.