Поведінка екстремальних значень квадратного тричлена

Поведінка екстремальних  значень квадратного тричлена при зміні значень коефіцієнтів.

Означення.  Квадратним тричленом дійсної змінної х назива­ють математичний вираз такого вигляду:

ах² + bх + с,

де а ¹0, а, b і с – дійсні (сталі) числа.

Означення.  Значення

х = - 0,5b:а,

називають точкою екстремуму квадратного тричлена

ах² + bх + с.

Означення.  Значення

у = (4ас – b²):(4а),

називають екстремумом квадратного тричлена ах² + bх + с.

Зауваження 1. Екстремальне значення квадратного тричлена можна шукати і за такими формулами:

х_{вершини} = - 0,5b:а,

у_{вершини} = a(x_верш. )²  + bx_верш.  +  c.

Означення.  Точка графіка квадратичної функції

у = ax²  + bx + c

з координатами

(- 0,5b:а;  (4ас – b²):(4а))

називається вершиною параболи квадратичної функції

у = ax² + bx + c

Зауваження 2. Графік квадратного тричлена можна одержати із графіка функції у = aх²   паралельним перенесенням вдовж осі Ох на  - 0,5b:а одиниць і вздовж осі Оу на (4ас – b²):(4а) одиниць.

Нагадаємо, що:

·       якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору і функція має мінімум:

х_min = - 0,5b:а,

у_min = a(x_min)²  + bx_min+ c.

·       якщо а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз і функція має максимум:

х_max = - 0,5b:а,

у_max = a(x_max)²  + bx_max+ c.

Нагадаємо, що квадратична парабола має вісь симетрії, це пряма

х_{вершини} = - 0,5b:а.

Координати вершини (х_{вершини}; у_{вершини}) ескізу параболи тричлена ax²  + bx + c шукається за формулами:

 х_{вершини} = - 0,5b:а,

у_{вершини} = a(x_верш. )²  + bx_верш.  + c.

Властивість 1. Якщо у квадратичної функції

у = ax² + bx + c

коефіцієнти а та с – сталі числа, а лінійний коефіцієнт b змінюється на множині дійсних чисел, тоді множина усіх графіків квадратичних функцій має таку закономірність: вершини парабол  рухаються по деякій параболі квадратичної функції, а координати  вершин парабол змінюються за формулами:

1)   Абсциса вершини параболи змінюється за лінійним законом тобто рухається по прямій:

у = - 0,5х:а,

2)   Ордината вершини змінюється за квадратичним законом, тобто рухається по параболі квадратичної функції:

у =(4ас – х²):(4а).

Властивість 2. Якщо у квадратичної функції

у = ax² + bx + c

коефіцієнти а та b – сталі числа, а лінійний коефіцієнт с змінюється на множині дійсних чисел, тоді множина усіх графіків квадратичних функцій має таку закономірність: вершини парабол  рухаються по прямій, а координати  вершин парабол змінюються за формулами:

3)   Абсциса вершини параболи змінюється за лінійним законом тобто рухається по прямій

у = 0х – 0,5b:а,

4)   Ордината вершини змінюється за лінійним законом тобто рухається по прямій

у = х –  b ²:(4а).

Властивість 3. Якщо у квадратичної функції

у = ax² + bx + c

коефіцієнти с та b – сталі числа, а лінійний коефіцієнт а змінюється на множині дійсних чисел, тоді множина усіх графіків квадратичних функцій має таку закономірність: вершини усіх парабол  рухаються по гіперболі, а координати  вершин парабол змінюються за формулами:

5)   Абсциса вершини параболи змінюється за обернено пропорційним законом, тобто рухається по гіперболі

у =  - 0,5b/х,

6)   Ордината вершини змінюється за обернено пропорційним законом, тобто рухається по гіперболі

у = с –  0,25b ²/х.