Теорема Вієта і її наслідки.

Теорема Вієта і її наслідки.

Франсуа Вієт (1540-1603) – французький математик, відомий своїми праця­ми в галузі алгебри і тригонометрії.

Теорема (Вієтa).1 Якщо х₁, x₂ — корені зведеного квадратного рівняння

х²+рх + q = 0,

 то маємо:

х₁+ x₂ = -р,   х₁∙x₂ = q.

Наслідок 1. Величина х² + рх + q:

·       додатна, якщо тричлен не має дійсних коренів або значення аргументу х більше, ніж більший корінь, чи менше, ніж мен­ший корінь цього тричлена;

·       від'ємна, якщо тричлен має дійсні корені, а значення аргумен­ту х лежить в інтервалі між ними.

Наслідок2. Залежність від  р і q розташування коренів  х₁, x₂ тричле­на х² + рх + q

відносно нуля за умови існування коренів р² - 4q > 0 така:

·       якщо q > 0, то корені мають один знак, що протилежний до знака р;

·       якщо q < 0, то корені мають протилежні знаки, а знаки р і меншого за модулем кореня збігаються;

·       якщо q = 0, то коренями є 0 і -р.

Розташування графіка функції у = х² + рх +q залежно від знаків р та q.

1)р< 0 <q  2)р<0> q   3)р>0 >q     4)р > 0 < q

Наслідок 3.  Корені тричлена х² + рх +q одночасно більші чи мен­ші, ніж стала х_о, тоді й лише тоді, коли корені многочлена

(х + х_о)² + р(х₀ + х)+q = х² + (р + 2х₀)х + х₀² + рх₀ + q

одночасно більші (менші), ніж нуль, тобто відповідно коли справ­джується система нерівностей

х₀² + рх₀ + q >0,   р + 2х₀<0

чи

х₀² + рх₀ + q >0,   р + 2х₀>0

Зауваження. Перша нерівність в отриманих системах – умо­ва того, що х_о не належить до відрізка, обмеженого коренями три­члена х² + рх +q.

Друга нерівність – умова того, що х_о відповідно менше чи біль­ше, ніж: – р/2, що знаходиться між коренями тричлена.

Теорема (Вієтa). Якщо х₁, x₂ – корені квадратного рівняння

ах² + bх + с = 0

то справедливі рівності х₁ + х₂ = - b/а, х₁х₂ = с/а .