Властивості квадратних тричленів.

Властивості квадратних тричленів.

Модуль А1. Квадратні тричлени

Означення.  Одночлен ‒ це цілий алгебраїчний вираз, який являє собою добуток двох або більше множників, кожний з яких є або число, або буква,   взята  в деякому  додатному  степені.

Одне число або одну букву в деякому додатному степені також мож­на  розглядати  як  одночлен.

Приклади: 2а⁴b²; -5х⁵у²z ‒ одночлени.

Означення.  Одночлени, які або нічим не відрізняються, або відрізняються лише коефіцієнтами при однакових буквених множниках, називаються подібними.

Приклади: 2а,  ‒1а¹,  ‒3а;  2аb³ і -3аb³ це дві групи подібних одночленів.

Означення.  Двочлен ‒ це цілий алгебраїчний вираз, який являє собою суму двох одночленів. Одне число або одну букву в деякому додатному степені також мож­на  розглядати  як  одночлен.

Приклади: 2а⁴ + 4b²;  -5 ‒ у²z ‒ це двочлени.

Означення.  Квадратним тричленом дійсної змінної х назива­ють математичний вираз такого вигляду: ах² + bх + с,

де а ¹0, а, b і с – дійсні (сталі) числа.

Зауваження: Треба розуміти, що

 bх = bх¹,  

с = сх⁰,

ах² =  ах² + 0х + 0, ,

У квадратному тричлені коефіцієнти мають назви:

а – старший коефіцієнт,

b - другий (лінійний) коефіцієнт,

с -  вільний член квадратного тричлена.

Приклади.

1. Наводимо приклади повних квадратних тричленів відносно змінної х і визначаємо їх коефіцієнти:

А) -4х²  +  6x – 9, де а = - 4, b = +6,  с = -9.

Б)  -34х²  -57x – 47, де а = - 34, b = - 57,  с = - 47. 

В)  -х²  + x – 2,  де а = - 1, b = 1,  с = -2. 

Г)  -6х²  + 8x – 2,  де а = ?, b = ?,  с = ?. 

2. Наводимо приклади неповних квадратних многочленів відносно змінної х і визначаємо їх коефіцієнти:

А) -4х²  – 9, де а = - 4, b = 0,  с = -9.

Б)  - х²  -7x, де а = - 1, b = - 7,  с = 0. 

В)  х²  ,  де а =  1, b = 0,  с = 0.  

Г)  6х²  – 2,  де а = ?, b = ?,  с = ?. 

3. Наводимо приклади квадратних многочленів відносно змінної х і самостійно визначаємо їх коефіцієнти, що задані параметрично:

А)  -(1- n)х²  + (9 + n)x + n - 3; 

Б)   - d²х²  - (9+d³)x + d⁵ -3; 

В)  (4m-2m²)х² – 7mx - 9+3m ;

Г)     -(z²-y²)х²  + (9-y³)x -37y  ;

Д) -(4у-5)х² - yx + 4y⁵ -3.

4. Завдання для кмітливих.

1.Скласти усі неповні квадратні тричлени, у яких є лише одиничні коефіцієнти.

2.Скласти повний квадратний тричлен, у якого немає сталих(числових) коефіцієнтів, але є змінні коефіцієнти.

3.Скласти неповний квадратний тричлен, у якого є числові коефіцієнтів та є змінні коефіцієнти.

Модуль А2. Квадратні рівняння

Означення.  Рівняння ах² + bх + с = 0 називається квадратним, якщо а  ¹ 0,  а, b і с – дійсні сталі числа.

Означення.  Дійсні числа x₁ , x₂ називають коренями квадратного рівняння,  якщо після їх підстановки замість невідомого х отримаємо:

аx₁² + bx₁ + с = 0  та

аx₂² + bx₂ + с = 0.

Приклади:

Наводимо приклади квадратних рівнянь та їх коренів. Самостійно виконати перевірку указаних коренів квадратного рівняння, підставивши їх замість   невідомого у рівняння і виконати обчислення.

А) х² – 7х + 12 = 0, має корені х₁ = 3, х₂ = 4.

Б) у² – 5у – 14 = 0, має корені у₁ = -2, у₂ = 7.

В) 9n² - 47n - 57 = 0, має корені n₁ = 19/9, n₂ = 3.

Г) 7u² – 10u + 3 = 0, має корені u₁ = 3/7, u₂ = 1.

Означення.  Рівняння

х² + pх + q = 0

називається зведеним квадратним, якщо p і q – дійсні сталі числа.

Означення.  Рівняння вигляду

aх² + bх = 0,

ах² + с = 0,

ах² = 0

називається неповними квадратними, якщо а  ¹ 0, а, b,  с – дійсні (сталі) числа.

Властивість.

Будь-яке повне квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 можна привести до зведеного квадратного рівняння x² + px +g = 0. Для цього треба поділити всі три коефіцієнти рівняння на старший коефіцієнт а.

Модуль А3. Cпособи розв’язування квадратних рівнянь

Означення. Розв’язати квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 означає знайти усі його корені, або довести, що їх не існує.

Означення. Дискримінантом квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 називають вираз D = b² - 4ac.

Критерій існування коренів квадратного рівняння

Якщо квадратне рівняння ax² + bx + c = 0:

1) має два кореня, якщо додатний дискримінант D = b² - 4ac > 0;

2) має один корінь, якщо нульовий дискримінант D = b² - 4ac = 0;   

3) не має коренів, якщо від’ємний дискримінант D = b² - 4ac < 0.

Ця властивість вірна і у зворотному формулюванні.

1) Якщо додатний дискримінант D = b² - 4ac > 0,  то квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 має два корені: х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),  х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).

2) Якщо нульовий дискримінант D = b² - 4ac = 0,  то квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 має один корінь: х₁ = х₂ = -0,5b/а.

3) Якщо від’ємний дискримінант D = b² - 4ac < 0.,  то квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 немає коренів.

Отже, умова на невід’ємний знак дискримінант є необхідної і достатньою умовою існування коренів квадратного рівняння.

Формули коренів квадратних рівнянь різних видів

Якщо додатний дискримінант D = b² - 4ac >= 0 квадратного рівняння ax² + bx + c = 0, то корені знаходять за формулами:

х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),

х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).

У квадратного рівняння a(x – m)(x – n) = 0  корені знаходять за формулами:

х₁ = m,

х₂ = n.

У зведеного квадратного рівняння x² + px +g = 0 корені знаходять за формулами:

 х₁ = ‒ p:2 ‒ ((p:2 )² ‒ q)^0,5 ,

х₂ = ‒ p:2 + ((p:2 )² ‒ q)^0,5 .

У квадратного рівняння ax² + 2mx + c = 0 корені знаходять за формулами:

х₁ = (- m ‒ (m² ‒ ac)^0,5 )/a,

х₂ = (- m + (m² ‒ ac)^0,5 )/a.

У квадратного рівняння ax² + c = 0 корені знаходять за формулами:

х₁ = ‒ (‒ c/a)^0,5 )/a,

х₂ = + (‒ c/a)^0,5 )/a,

.

У квадратного рівняння ax² + bx = 0  корені знаходять за формулами (винесемо множник за дужки: (ax + b)x =0):

x₁ =  - b:а; 

x₂ = 0.

У квадратного рівняння ax² = 0  корені знаходять за формулами:

x₁ = x₂ =  0.

Якщо для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 виконується умова

 a + b + с = 0,

то х₁ = 1,  х₂ = с/а.  

Наприклад:  5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/2.

Якщо для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 виконується умова

а - b + с = 0, то

х₁ = - 1, 

х₂ =  - с/а.  

Наприклад:  4х² + 11х + 7 = 0; х₁ = - 1, х₂ = - 7/4.

Модуль А4. Властивості квадратних тричленів

Запровадимо такі поняття:

·                       D = b² - 4ac - дискримінант квадратного тричлена

·                       х_о - корінь квадратного тричлена, якщо ах₀² + bх_о + с = 0.

Властивість 1. Для а  ¹ 0 можемо виділити повний квадрат:

ах² + bх + с = a((x + b/(2a))² – (b²-4ac)/(4a²)).

Зауваження. Ця властивість використовується для побудови графіків квадратичних функцій f(х) = ах² + bх + с. Графік функції

у(х) = ах² + bх + с

отримують з графіка функції у = х²  такою послідовністю перетворень:

·       паралельним перенесенням вершини в точку (-b/2а;0);

·       розтягом або звуженням до осі симетрії параболи в а разів, якщо

 а > 1, і розхилом   відносно осі симетрії у ½а½ разів, якщо 0<а < 1;

·       паралельним перенесенням на вектор (0; с - b²/4а).

Наслідок 1. Існує найменше значення функції у(х) = ах² + bх + с

для а > 0 і воно дорівнює у_min(-b/2а).

 Наслідок 2. Існує найбільше значення функції у(х) = ах² + bх + с для а < 0 і воно дорівнює у_max(-b/2а).

Властивість 2. Для а  ¹ 0  і  b²-4ac >= 0 можемо розкласти на множники:

ах² + bх + с  =  a(x – x₁) (x – x₂).

де x₁ , x₂ – корені квадратного тричлена, тобто

а x₁² + bx₁ + с = 0  та а x₂² + bx₂ + с = 0.

Наслідок. Квадратний тричлен можна утворити так, що він матиме корені з наперед заданими критеріями(умовами) на ці корені.

Властивість 3. Величина х² + рх + q:

·         додатна, якщо тричлен не має дійсних коренів або значення аргументу х більше, ніж більший корінь, чи менше, ніж мен­ший корінь цього тричлена;

·         від'ємна, якщо тричлен має дійсні корені, а значення аргумен­ту х лежить в інтервалі між коренями x₁  та x₂.

Властивість 4. Залежність від  р і q розташування коренів  х₁, x₂ тричле­на х² + рх + q відносно нуля за умови існування коренів

р² - 4q > 0 така:

·       якщо q > 0, то корені мають один знак, що протилежний до знака р;

·       якщо q < 0, то корені мають протилежні знаки, а знаки р і меншого за модулем кореня збігаються;

·       якщо q = 0, то коренями є 0 і -р.

Властивість 5. Корені тричлена х² + рх +q одночасно більші чи мен­ші, ніж стала х_о, тоді й лише тоді, коли корені многочлена

(х + х_о)² + р(х₀ + х)+q = х² + (р + 2х₀)х + х₀² + рх₀ + q

одночасно більші (менші), ніж нуль, тобто відповідно коли справ­джується система нерівностей

х₀² + рх₀ + q >0,   р + 2х₀<0

чи

х₀² + рх₀ + q >0,   р + 2х₀>0

Зауваження. Перша нерівність в отриманих системах – умо­ва того, що х_о не належить до відрізка, обмеженого коренями три­члена х² + рх +q.

Друга нерівність – умова того, що х_о відповідно менше чи біль­ше, ніж: – р/2, що знаходиться між коренями тричлена.

Наслідок. Між  двома дійсними коренями квадратного тричле­на ах² + bх + с розташовано один з двох дійсних коренів квадратного тричлена fх² + gх + h тоді й лише тоді, коли справджується така система нерівностей:

а ¹ 0   i  f ¹ 0  i  b² - 4ac > 0 i  g² – 4fh > 0  i

a²h² + с²f² + аcg² + b²fh - аbgh - bсfg - 2асfh < 0

Модуль А5. Теорема Вієта і її наслідки

Франсуа Вієт (1540-1603) – французький математик, відомий своїми праця­ми в галузі алгебри і тригонометрії.

Теорема (Вієтa). Якщо х₁, x₂ – корені квадратного рівняння

ах² + bх + с = 0

то справедливі рівності

х₁ + х₂ = - b/а,

х₁х₂ = с/а .

Теорема (Вієтa).1 Якщо х₁, x₂ ‒ корені зведеного квадратного рівняння

х²+рх + q = 0,

 то маємо:

х₁+ x₂ = - р,

х₁∙x₂ = q