Банк завдань на властивості квадратних тричленів. Біквадратні рівняння.

 Банк рівнянь.

 А. Розв’язати рівняння різними спосoбами і виконати письмову перевірку коренів:

1. 125х² – 20х⁴  = 0; 72z³ – 98z⁵  = 0;       64х⁴ – 36х²  = 0; 

2. х⁶ – 64 = 0; х⁶ – х³ = 0; х⁶ - 256х² = 0; 729x⁴ – x⁶  = 0;

3. х⁴ – 81х³ = 0;    х⁴ – 16х² = 0;     729х⁴ – 256 = 0;     625х⁴ – 1 = 0;

4. х⁷ – 64х⁴ = 0;    х⁸ + х⁵ = 0;    8х⁵ + 125х² = 0;    64х⁵ – 27х² = 0.

Домашнє завдання 2.  Банк рівнянь.

Розв’язати рівняння різними спосoбами і виконати письмову перевірку коренів:

1.  z² + 7z  – 8 = 0;      2.  – p² – 6p  + 7 = 0;     3.  – 2x² + 14x  – 16 = 0;        

4. k² + k + 2 = 0;         5. – 4n² + n + 5 = 0;        6. – 5m² + m – 2 = 0;  

7. y² – 13y  + 36 = 0;   8. y² – 17y  + 72 = 0;     9. y² – 0,16y  + 0,63 = 0;        

10. z² – 10z  + 25 = 0;  11. z² + 14z  + 49 = 0;     12. z² – 3z  + 2,25 = 0;     

13.  30х² – 20х  + 10 = 0;  14. 2х² – 4х  + 12 = 0;   15. 24х² – 36х  + 48 = 0;   

16. m² – 4m  – 45 = 0;   17.  n² + 6n  – 35= 0;        18. 2k² -5k  + 2 = 0;   

19. 3х² -10х  + 3= 0;     20.  7m² + 23m  + 3 = 0;     21. 16n² -24n  + 9 = 0;

22. 25х² -20х  + 4 = 0;    23. х² + 8х  + 15 = 0;     24. х² + 28х  + 27 = 0;

25. х² +16х  + 64 = 0.  26.  n² + 12n  + 35= 0;        27.  k² -9k  + 20 = 0;   

28. х² -11х  + 30 = 0;     29.  m² + 23m  + 60 = 0;     30. 16m² +24m + 9 = 0;

31. 25n² +20n  + 4 = 0;    32. k² – 8k  + 15 = 0;     33. k² – 28k  + 27 = 0;

34. n² - 16n  + 64 = 0.  35. 3m² + 30m  + 72 = 0;     36. 2m² – 58m  + 56 = 0.

Домашнє завдання 3.  Банк біквадратних рівнянь.

Розв’язати  рівняння способом заміни і виконати письмову перевірку коренів:

1.  а⁴ + 7а² – 8 = 0;  2. b⁴ + b² - 2 = 0;     3. y⁴ – 13y² + 36 = 0;  4. z⁴ – 26z² +25 = 0;   

 5.  х⁴ -20х² +10 = 0;   6. m⁴ – 4m² – 45 = 0;  7.  n⁴ + 6n² – 35= 0;   8. 2k⁴ -5k² + 2 = 0;

 9. 3х⁴ -10х² +3= 0;   10.  7х⁴ + 23х² + 3 = 0;   11. 16 х⁴ -24х² +9 = 0;  12. 25х⁴ -20х² +4 = 0;

13. х⁴ + 8х² +15 = 0;   14. х⁶ + 28х³ + 27 = 0;  15. х⁶+16х³+64 = 0.

Домашнє завдання 4.  Банк рівнянь, що розв'язуються способом заміни.

Розв’язати  рівняння способом заміни і виконати письмову перевірку коренів:

1. (a² + 5a + 2)(a² + 5a – 1) = 28;   2. (k² – 4k - 2)(k² – 4k + 1) = 18;      

3. (y² + 2y - 1)(y² + 2y + 1) = 15;   4. (х² + 4х + 1)(х² + 4х – 1) = 24;      

Розв’язати  рівняння cспособом заміни і виконати перевірку коренів:

1. (х² – 5х)² + 3(х² – 5х) = 28;    2. (z² – z)² – 4(z² – z) + 7 = 3;          

3. (y² + 2y)² - 12(y² + 2y) + 36 = 0;  4. (z² – 4z)² + 8 (z² – 4z) – 15 = 0;   

5. (х² – 4х)² – 16(х² – 4х) + 88= 24;     6. (х² – 5х) ²  – 20(х² – 5х) - 2 = -12.

7. (n² – 6n)⁶ – 9 (n² – 6n)³ + 10 = 2;  8. (х² – 7х)⁶ + 28(х² – 7х)³ + 20 = -7;  

9. (m² – 9m)² – 7(m² – 9m) + 6 = 0;  10. (х² – 3х)² –4(х² – 3х) –45 = 20; 

11. (a² – 5a)² + 8(a² – 5a) - 9 = 0;   12. (y² -16)² - 2( y² -16) + 1= 16.

Домашнє завдання 5.  Банк завдань на властивості квадратного тричлена.

1. Розв’язати  рівняння з обчисленням дискримінанту:

1) -х² + 12х + 1 = 0;  2) -2х² - 7х + 4 = 0;  3) х² - х + 56 = 0;

4) 3х² + 5х + 2 = 0;  5) х² - 10х - 24 = 0;  6) 2х² + 7х - 4 = 0;

2. Розв’язати  рівняння без обчислень дискримінанту:

Якщо a + b + с = 0, то х₁ = 1,  х₂ = с/а.  

Наприклад:  5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/2.

Якщо а - b + с = 0, то х₁ = - 1,  х₂ =  - с/а.

Наприклад:  4х² + 11х + 7 = 0; х₁ = - 1, х₂ = - 7/4.

1)14х² – 17х + 3 = 0;  2) 13х² – 18х + 5 = 0;  3) х² – 39х - 40 = 0; 

4) х² + 23х - 24 = 0; 5)100х² –83х –183= 0;    6)100 х² + 97х - 197 = 0 ;

3. Розкладіть на множники квадратні тричлени:

1) x² – 5x + 4;       2) n²  – 6n + 5.    3)  х² – 8х + 15;   4) a² + 7a + 10.   5) u² – 5u – 6;    6) w² – 3w – 4.

4. Для  корені в х₁ та х₂ квадратного тричленів,  обчислити вираз  (х₁ +х₂)² – х₁х₂:

1) x² + 6x - 7;        2) 4х²  – 6х + 2.    3)  х² – 8х + 15;   4) -4х² + 28х + 40.   5) - х² – 5х – 6;    6) -х² – 3х – 4.

Домашнє завдання 6.   Банк рівнянь, що зводяться до квадратних.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на три більші  за відповідні числа  1 та -3.  Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на 200%  за відповідні числа  2 та 8.  Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на три більші  за відповідні корені рівняння  х²  -  6х - 7 = 0.  Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого є протилежними  за відповідні корені рівняння  х²  -  3х - 10 = 0. Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого обернені  за відповідні корені рівняння  х²  -  9х + 14= 0. Виконайте письмову превірку.

Домашнє завдання 7.  Банк завдань на властивості рівнянь.

 Розв’язати рівняння  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром,що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.

 1.    а) х² = 9х; б) х³ = 16x; в) (х-4)(х+3) = х;  г) (2х – 5)² + (5х + 2)² = 60; д) -9kх² – (1-3k)х -0,25k = 0.  

2.    а) n² = 4n;  б) х³ = 0,25x; в) (х-7)(х+1) = -6х;  г) (4х – 2)² + (2х + 4)² = 54; д)  -kх² – (1-k)х -0,25k = 0.  

3.    а) m² = 16m;  б) х³ = 48x; в)  (х-8)(х+4) = -4х;  г) (3х – 4)² + (4х + 3)² = 64; д) -kх² – (2-k)х -0,25k = 0.  

4.    а) х² = 25x;  б) х³ = 44x; в)  (х-9)(х+6) = -3х;  г) (4х – 5)² + (5х + 4)² = 68; д) -4kх² – (1-2k)х -0,25k = 0.  

5.    а) k² = 36k;  б) х³ = 99x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х – 6)² + (6х + 5)² = 60; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

6.    а) z² = (– 1) ⁶; б) х³ = 24x; в) (х-1)(х+9) = 8х;  г) (6х – 9)² + (9х + 6)² = 84; д)  -9kх² – (4-3k)х -0,25k = 0.  

7.    а) b² =( – 3) ² ; б) х³ = 60x; в)  (х-4)(х+8) = 4х;  г) (7х – 4)² + (4х + 7)² = 34; д) -4kх² – (5-2k)х -0,25k = 0.  

 8. При яких значеннях параметра а  сума квадратів коренів рівняння  4х² - 28х + а = 0  дорівнює 22,5?

9. При яких значеннях параметра а розв’язок нерівності рівне  x² + ax ‒1 < 0 буде інтервал довжини 5?


 Домашнє завдання 8.  Банк завдань на властивості квадратних тричленів.

ax² + bx + c = а(х - х₁)(х - х₂) = а(х - m)²+ n

1. Записати три різних квадратних тричлени у стандартному вигляді, якщо корені дорівнюють:

1) 20 і -1,3;  2) – 80 і 1,6;   3) 70 і -1,6;  4) -50  і -1,2;   5) – 90 і -1,5;  6) -12 і -4,0;  7) – 20 і 1,6;  8) 40 і -2,5;   9) – 70 і 1,9;

2. Розкласти на множники квадратний тричлен: а(х-х₁)(х-х₂)  та виділити квадрат двочлена: а(х-m)²+n

1) -х² -5х-4;  2)- х² -х-2;  3)- х² -6х-5;  4) -х² -7х-6;  5) -х² -6х-7;  6) -х² -9х-8;  7) -х² -10х-9;  8) -х² -11х-10;  9) -х² -12х-11;    10) -х² -13х-12;  11) -х² -15х-14; 12) -х² -16х-15;   13) - х²-17х-16;  14) -х² -18х-17;  15) -х² -19х-18;  16) -х² -20х-19;

3.Скласти квадратний тричлен, у якого немає нульових коефіцієнтів.

4.Скласти квадратний тричлен, у якого немає числових коефіцієнтів, але є змінні коефіцієнти.

5.Скласти зведений квадратний тричлен, у якого є числові коефіцієнтів та є змінні коефіцієнти