Парні та непарні значення квадратного тричлена. Властивості парності коренів многочлена.

Розклад квадратного тричлена на множники

Виявляється, що не всі квадратні многочлени можна розкласти на множники першого степеня(лінійного вигляду).

Якщо квадратний тричлен ax² + bx + c має тільки один корінь m, то отримаємо  представлення:

ax² + bx + c = а(х - m)² = ax² - 2max + аm²

Якщо квадратний тричлен ax² + bx + c має два корені  m  i n, то  отримаємо представлення:

ax² + bx + c = а(х - m) (х - n) = ax² - 2mnax + аmn

Якщо квадратний тричлен ax² + bx + c не має  дійсних коренів, то його розкласти на множники не можна на полі  дійсних чисел.

Маючи два довільні числа m  i n, які можна вважати коренями квадратного тричлена, можна записати у стандартному вигляді квадратний тричлен.

ax² + bx + c = а(х - m) (х - n).

Записати тричлен у стандартному вигляді і як добуток лінійних множників, якщо його  корені:

1) 12 і -12;  

2)– 8 і 6;  

3) 0 і -56;

4) -5 і -2;  

5) - 1– 2^0,5   і – 1+ 2^0,5; 

6)  0,5– 7^0,5   і – 0, 5+ 7^0,5;  

7) -5.

Розкласти на множники квадратні тричлени.

1) х² -13х + 12 = 0;  

2) 2х² - 8х + 6 = 0;  

3) х² - х + 56 = 0;

4) 3х² + 5х + 2 = 0;  

5) х² - 10х - 24 = 0;  

6) 2х² + 7х - 4 = 0;

7) х² - 6х + 9 = 0;  

8) 0,5х² – 2,5х - 4 = 0;  

9) х² - 4х + 5 = 0;

10) -5х² - 2х + 7 = 0;  

11) 8х² - 6х + 2 = 0; 

12) 7х² - 5х + 2 = 0.

При якому значенні параметра  k  рівняння має: а) недійсні  корені;  б)два протилежні корені;  в) два  корені різних знаків;  г)два недодатних  корені.

 1) х² – (1+ k)х + k = 0;       

2) х² – (1-4k)х +  4k = 0;       

3) х² – (5 +k)х - 5k = 0;     

 4) х² – (1- k)х -  2+k = 0.  

5) х² – (4+ 3k)х + 3k = 0;   

6) х² – (1-5k)х +  5k = 0;      

7) х² – (7 +2k)х - 7k = 0;    

8) х² – (1-5k)х -  5+k = 0.   

9) х² – (3 - k)х + k + 2 = 0;  

10) х² – (1-4k)х +  k+3 = 0; 

11) х² – (3 +k)х – 4-k = 0;   

12) х² – (1-3k)х -  6k =0 .  

13) х² – (1+ 2k)х + 7k = 0;  

14) х² – (1-k)х +  9k = 0;     15) х² – (3 +k)х – 7-k = 0;   

16) х² – (1-3k)х -  2k = 0.  

   Дійсні корені квадратного тричлена

Означення.  Квадратним тричленом дійсної змінної х назива­ють арифметичний вираз такого вигляду:

ах² + bх + с,

де а ¹0, b і с – дійсні сталі.

Рівняння ах² + bх + с = 0 вважають квадратним,

якщо а  ¹ 0.

Для а  ¹ 0 можемо виділити повний квадрат:

ах² + bх + с =  a ((x+b/(2a))² – (b²-4ac)/(4a²))

Парні та непарні значення квадратного тричлена

Усі три незалежних цілих коефіцієнти  a, b, c можуть приймати одне із двох значень: парне або непарне. Всього існує вісім різних випадків запису квадратного тричлена з цілими  коефіцієнтами за критерієм парності:

a	x2+	b	x+	c	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)

Всього існує шістнадцять різних випадків цілих значень квадратного тричлена з цілими коефіцієнтами:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m )2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

Теорема Вінницького. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами при парних значеннях змінної приймає таку ж парність, яку має вільний член.

Наслідок. 

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення. Таблиця дає повну картину значень квадратного тричлена при парних значеннях  х:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m )2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення.  Якщо вільний член виражений непарним числом, то значення квадратного тричлена  f(2m) =2q - 1, і  ніколи не буде дорівнювати нулю, бо нуль – це парне число.