Дії з квадратними тричленами

Дії з квадратними тричленами

Означення. Два квадратні тричлени

f(x) = а₁х² + b₁x + c₁  

та  

 g(x) = а₂х² + b₂x + c₂

 рівні, якщо рівні їхні коефіцієнти при х², рівні їхні коефіцієнти при х і вільні члени обох тричленів теж рівні, тобто якщо

а₁ = а₂,

b₁ = b₂,

c₁ = c₂,

то 

f(x) = g(x).

Дії з квадратними тричленами.

Означення. Сумою двох  квадратних тричленів

f(x) = а₁х² + b₁x + c₁  

 та   

g(x) = а₂х² + b₂x + c₂

називають третій квадратний тричлен,

s(x) = f(x) +  g(x) = S₂х² + S₁x + S₀

коефіцієнти якого отримують  додаванням відповідних коефіцієнтів при  х²,  при х і  вільний член(при х⁰) отримують   додаванням обох вільних членів даних тричленів, тобто

S₂ =  а₁ + а₂,

S₁ =  b₁ + b₂,

S₀ =  c₁ + c₂.

Означення. Добутком двох  квадратних тричленів

f(x) =  а₁х² + b₁x + c₁

та

g(x) = а₂х² + b₂x + c₂

 називають  многочлен четвертого степеня

p(x) = f(x)g(x) = P₄х⁴ + P₃x³ + P₂х² + P₁x + P₀,

 коефіцієнти якого, отримують із коефіцієнтів квадратних тричленів за правилами:

P₄ = а₁а₂ 

P₃ = а₁b₂ + а₂b₁

P₂ = а₁c₂ + а₂c₁ + b₁b₂

P₁ = c₂b₁ + c₁b₂

P₀ = c₁c₂

Алгоритм ділення многочленів з остачею

Для будь-яких многочленів

f(x) = а₁х² + b₁x + c₁  

 та   

g(x) = b₂x + c₂

існує частка

q(x)

 і такі, що

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

при цьому степінь r(x) менше степені

g(x) або  r(x) = 0.

Многочлени g(x) і r(x) визначені однозначно.

Частку і остачу  знаходять за допомогою письмового ділення «куточком».

Дільники многочлена

Означення. Дільник квадратного тричлена f(x) – це лінійний або 

квадратний многочлен, g(x), такий, що

f(x) = g(x)q(x).

         Означення. Найбільший спільний дільник многочленів f(x) и g(x) - такий їх спільний дільник d(x), який делиться на довільний другий їх спільний дільник.

Інтерполяційна формула Лагранжа

для квадратного тричлена

Дано три точки

(x₁; у₁),  (x₂; у₂), (x₃; у₃).

невідомого квадратного тричлена

ах² + bx + c,

тоді можна записати квадратний тричлен за допомогою формули Лагранжа:

f(x) = ах² + bx + c =

= y₁(x-x₂) (x-x₃)/(x₁ –x₂)(x₁ –x₃) +

+ y₂(x-x₁) (x-x₃)/(x₂ – x₁)(x₂ –x₃) +

+ y₃(x-x₂) (x-x₁)/(x₃ –x₁)(x₃ -x₂)

Приклад. Знайти коефіцієнти квадратного тричлена і записати його в стандартному вигляді, якщо відомі абсциси і ординати тільки для трьох точок: x₁ = 1; x₂ = 3; x₃ = 4; y₁ = 2; y₂ = -2; y₃ = -1.

Розв’язання. Скористаємося інтерполяційною формулою Лагранжа для квадратного тричлена:

f(x) = ах² + bx + c =  y₁(x-x₂) (x-x₃)/(x₁ –x₂)(x₁ –x₃) + y₂(x-x₁) (x-x₃)/(x₂ – x₁)(x₂ –x₃) + y₃(x-x₂) (x-x₁)/(x₃ –x₁)(x₃ -x₂) =

= 2(x-3)(x-4)/(1 –3)(1 – 4) - 2(x-1)(x-4)/(3 – 1)(3 –4) -1(x-3)(x-1)/(4 – 1)(4 -3) = х² - 6x + 7.