Знаходження розв’язків функціональних рівнянь

Знаходження розв’язків функціональних рівнянь конструктивними методами.

Означення. Рівносильні функціональні рівняння ‒ це рівняння, що мають одну й ту саму множину  функцій-розв'язків.

Приклади.

1)   f ²(х) ‒ 4 = 0 і /f(х) / = 2 ‒  це рівносильні  рівняння, оскільки вони мають одні й ті самі функції-розв'язки:

f(х) = 2,  f(х) = - 2

2) (f(х) ‒ 1)² =  0,  f(х) ‒ 1 = 0 ‒ рівносильні  рівняння, бо множини розв'язків цих рівнянь збі­гаються.

Означення. Рівносильні  рівняння  називаються також еквівалентними. Відношення рівносильності рівнянь є відношенням еквівалентності на множині рівнянь розглядуваних  над одним  й  тим самим  полем.

Аналогічно означається й рівносильність систем рівнянь: системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв'язків.

    Звертаємо увагу на те, що у даному інформаційному модулі запропоновано спосіб розв’язування функціональних рівнянь, що використовує конструктивний характер знаходження розв’язку у вигляді функції певного виду,  з використанням способу невизначених коефіцієнтів.  Але даний підхід не може гарантувати єдність цього розв’язку у просторах інших видів функцій для даного функціонального рівняння.

 Варто   зрозуміти, що,  як правило,  функціональні співвідношення задають деякий цілу множину функцій, за якоюсь формальною властивістю (формулою)  та додатковими обмеженнями на шукану функцію.  Тому повне розв’язування    функціональних рівнянь  потребує не лише побудови якоїсь однієї функції, а й знаходженню всієї множини функцій   і дослідженню її структури або доведенню, що розв’язків в даному просторі функцій не існує.

Таким чином, подані нижче зразки розв’язувань функціональних рівнянь даного розділу не будуть містити обгрунтування того, що функціональні рівняння мають ще інші розв’язки, які не належать до многочленів.

 Приклад 1.  Розв’язати функціональне рівняння

 f: R‒ R

f(x) + f(x+5) = 10x + 11                  (2.1)

 Розв’язання. Розпочнемо конструювати  розв’язок серед елементарних функцій, а саме у вигляді лінійної дійсної функції

f(x) = ax + b, де аR, bR.                (2.2)

Підставимо  в аргумент  шуканої функції x+5

f(x+5) = a(x+5)+b = ax + 5a+b                (2.3)

додамо праві частини рівностей (2.2) та (2.3) , щоб отримати ліву частину рівняння (2.1):

ax + b + ax + 5a+b = 10x + 11,

2ax + 5a+2b = 10x + 11.

    Прирівнявши коефіцієнти перед х  та вільні члени, отримаємо два рівняння

2а=10  та 5a+2b =  11.

 З першого та другого рівняння знайдемо значення коефіцієнту а=5, підставивши його у друге рівняння отримаємо b  = -7. Легко переконатися, що отримана

f(x) = 5x -7

задовольняє  дане рівняння.

  Отже, один з усіх можливих  розв’язків функціонального рівняння  (2.1) буде лінійна функція    

f(x) = 5x -7.

 Приклад 2. Розв’язати функціональне рівняння  f: R‒ R

f(x) - f(1-х) = -1                           (2.4)

 Розв’язання: Допустимо, що це рівняння має розв’язок

f(x) = с,         де сR.

   Легко впевнитися в тому, що ця функція не являється розв’язком функціонального рівняння  (2.4).

Адже,    

f(1-х)= с,

тому

f(x) - f(1-х) = 0 -1.

    Тепер допустимо, що  знайдеться розв’язок у вигляді лінійної функції                                  

f(x) = ax + b,        де аR, bR.                (2.5)

Матимемо

f(x) ‒ f(1 ‒ х) =  ax + b – a(1‒ x) ‒ b = ‒1

2ax ‒ a = ‒ 1,

Отже,

2а = 0

 і 

‒ a = ‒ 1,

проте при будь-якому дійсному значенні а не може одночасно виконуватися  останні дві різні рівності.

  Тому маємо висновок, що розв’язку  у вигляді лінійної функції не можна отримати.

   Нехай розв’язок функціонального рівняння  (2.4) матиме вигляд квадратного тричлена:

f(x) = ax² + bх + с,  де аR, bR, сR.       (2.6)

   У цьому випадку маємо

f(x) ‒ f(1‒ х) = ax² + bх + с ‒ a(1 ‒ x)² ‒ b(1‒ х) – с

f(x) ‒ f(1‒ х) = ax² + bх + с ‒ a + 2ax ‒ x² ‒ b + bх – с

f(x) ‒ f(1‒ х) =  2(а + b)х – (а + b).

Тобто,

2(а + b)х – (а + b) = 0x ‒ 1.

  Прирівнявши коефіцієнт перед х  до нуля та вільні члени, отримаємо cистему рівнянь а + b = 0 і а + b = ‒1. Легко переконатися дедуктивним шляхом, що отримана система немає розвʼязку.

Отже, серед можливих розв’язків функціонального рівняння  немає функцій вигляду  постійної, лінійної та квадратного тричлена.     Функціональне рівняння немає розв’язку у вигляді неперервних многочленів, це легко переконатися індуктивним шляхом,  тобто методом математичної індукції по найстаршому степені многочлена.

З другого боку, якщо:

1)   конструювати розв’язок функціонального рівняння серед унікальних, а скоріше, патологічних функцій(розривних в усіх точках, з хаотичними значеннями, які розкидані, як завгодно по всій області значень), а саме функцій типу одноточкових(узагальнення: до m-точкових, де m пробігає деяку  числову множину М) функцій,  то  отримаємо злічену множину дійсних функцій-розвʼязків для даного рівняння  (2.1):

f₁(x) =  { х, якщо х = 0; не існує, якщо х є R/{0}}.

f₂(x) =  { х², якщо х = 0; не існує, якщо х є R/{0}}.

…….

F_т(x) =  { х^т, якщо х = 0; не існує, якщо х є R/{0}}.

2)    конструювати розв’язок функціонального рівняння серед логарифмічних функцій  з додатним аргументом вигляду

f(x) = log_aх,

і звести її до функцій типу одноточкових функцій,  то  отримаємо деякий континуум-множину дійсних функцій-розвʼязків  для дійсного значення параметра а є R₊ /{1}:

f_l(x) = { log_aх, якщо х = 1/(a+1); не існує, якщо х є R/{1/(a+1)}}.

3)   конструювати розв’язок функціонального рівняння серед показникових функцій

f(x) = a^х,

і звести її до функцій типу одноточкових функцій,  то  отримаємо деякий континуум-множину дійсних функцій-розвʼязків  для дійсного значення параметра а є R₊ /{1}:

f_l(x) = { a^х, якщо х = log_a(0,5(4a+1) ^0,5 -0,5) };

f_l(x) = { не існує, якщо х є R/{ log_a(0,5(4a+1) ^0,5 -0,5) }}.

     Узагальнимо ці міркування. Взагалі,  можна сконструювати ще багато інших m-точкових функцій різних типів, на що треба багато часу.  Аби бути повністю коректним, то усі попередні розв’язки функціонального рівняння (2.1) варто об’єднати в одну континуум-точкову функцію F (x)на всій області допустимих значень рівняння і вважати  її  патологічним розв’язком на множині розривних  функцій. Таким чином, нами конструктивно доведено, що даний вид  функціональних рівнянь за певних умов є розв’язне, адже будувати патологічний вид  функцій-розв’язку варто,  бо  насамперед наочно бачиш усю картину  не тільки на класичних функціональних просторах: неперервних, обмежених, монотонних, періодичних, парних і непарних, алгебраїчних, диференційованих, жорданових, лебегових та інших функцій-розв’язків.

     Приклад 3. Знайти розв’язок f: R-R функціонального рівняння 

2004 - f ²(x) – f⁴(1-х) = 2005                   (2.7)

    Розв’язання:  Легко впевнитися в тому, що дане функціональне рівняння не має розв’язків серед дійсних функцій.

-f ²(x) – f ⁴(1-х) = 1

Ліва частина останньої рівності невід’ємна, а права завжди додатня на множині дійсних чисел.

Завдання для самостійного опрацювання.

1. Знайти  дійсні функції  f: R-R:

а) у вигляді многочленів з дійсними коефіцієнтами;

б) злічену множину m-точкових розв’язків  в цілих многочленах; 

в) континуум-множину   m-точкових розв’язків  функціональних рівнянь:

а) f ²(x) = 5х + 6;

б) f(x) - f(-x) = 2x;

в)f(4-x) - f(х+4) = 4x;

г) f(x) -2f(-x) = -x² +6х;

д)f(x) +2f(-x) = 3x² – х + 3;

е) f(x-1) -5f(-x) = 4x² +2х – 35;

є) f(2x-3) + f(4x) = 40x² -24х – 18.