середа, 11 червня 2014 р.

Квадратична функція та її властивості.

 Квадратична функція та її властивості.

Означення. Функції вигляду f(x) = ax2 + bx + c називається квадратичною, якщо a -  ненульове дійсне число, b, с – дійсні числа.

Графіком квадратичної функції у = ax2 + bx + c  є крива лінія, яку називають квадратичною  параболою.
Дискримінант D = b2 – 4ac
Нулі квадратичної функції:  
х1 = (‒ b ‒ (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a),
х2 = (‒ b + (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a).
ТРИ способи  запису  квадратичної функції:
у (x) = f(x)= ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)= а(х -0,5b:a)20,25D:a.

Координати вершини  квадратичної  параболи: 
хв = - 0,5b:a;  ув =  - -0,5b:a.
Теорема Вієта 



Приклад 1.  Побудувати графік функції,  користуючись шаблонами
y = 2(x - 2)2 – 4

Схема побудови графіків:

1. y1 = x2 – графіком є парабола з вершиною в точці (0;0).

2. y2 = (x - 2)2 – рух графіка у1 вздовж осі Ох на 2 одиниці вправо.

3. y3 = 2(x - 2)2  – звуження графіка удо осі симетрії (збільшення ординати вдвічі).

4. y4 = 2(x - 2)2 – 4   – рух графіка у3 вдовж осі Оу на 4 одиниці  вниз.

Приклад 2. Графік квадратичної функції задано формулою:
f(x) = ax2 + bx + c.
Знайти усі нулі параболи, вершину параболи та коефіцієнти abc, якщо відомо, що
f(1) =  2010;  f(–1) =  0.
Розв’язання.
 Знайдемо значення функції при х = 1.
f(1) =  a×12 + b×1 + c = a + b + c  = 2010.
Таким чином, отримаємо.
a + b + c  = 2010,             (1)
Знайдемо нульове значення функції при х = -1.
f(–1) = a×(–1)2 + b×(–1) + c = ab + c  = 0,
 звідси випливає  рівність
b = a + с .             (2).
Вираз (2) підставимо у ліву частину виразу (1) замість суми а + с, отримаємо:
b + a + c  = b + b  = 2010,
2×b  = 2010,
b = 1005.              (3)
Зазначимо, що х1 = –1 – нуль функції, тобто, -1 – це корінь рівняння
ax2 + bx + c = 0.
У цього квадратного рівняння існує і другий корінь. Знайдемо  х2.
Використовуючи  теорему Вієта, запишемо суму коренів:
  х1 + х2 = –  b/а = – 1005.       (4)
Знаючи, перший корінь х1 = –1  і  b = 1005, маємо два рівняння:             
–1 + х2 = – 1005.
–  1005/а = – 1005.      
Звідси, отримаємо старший коефіцієнт 
а = 1
та другий корінь:
х2 = – 1004.
Таким чином, маємо два нулі параболи: х1 = –1, х2 = – 1004.
Вкажемо ще один спосіб знаходження значення старшого коефіцієнта а за допомогою  двох нулі і абсциси вершини параболи.
Квадратична парабола є симетричною відносно прямої
у = – 0,5b/а.
 Тому  нулі х1 , х2 параболи  – це симетричні точки на осі Ох відносно точки хв =  – 0,5b/а. Таким чином,  хв =  – 0,5b/а – це середина відрізка, кінцями якого являються нулі параболи. Середину відрізка можна знайти за формулою:
хв =  0,5(х1 + х2)  = – 0,5b/а.
Враховуючи рівність (3) та (4), маємо
хв =  0,5(х1 + х2)  = 0,5×(-1005)  = –502,5 = – 0,5×1005/а.
Отримали рівняння:
502,5 = – 0,5×1005/а.
Звідси, отримуємо  старший коефіцієнт:  а = 1.
Знайдемо вільний  член с.
Використовуючи  теорему Вієта запишемо добуток коренів:
  х1×х2 = с/а = с:1 = с.      
Тобто, вільний член
                          с =  х1×х2 = -1×(–1004) = 1004.
Остаточно,  а = 1,  b = 1005, с = 1004.  
Приклад 3. Дано графіки квадратичної  функції
f(x) = ax2+ bx+ c, де a¹0
та лінійної  функції 
g(x) = kx+l
в прямокутній системі координат хОу.
Чи можна за допомогою циркуля та лінійки виконати побудову  різниці графіків  f(x) - g(x)?
Розв’язання. Якщо утворити різницю
R(x) = f(x) - g(x) = ax2+ bx+ ckx - l  = ax2+ (b-k)x + (c-l),
то отримаємо квадратичну функцію R(x), у якої на відмінну від квадратичної функції f(x) змінилися параметри лінійної частини. 
Зазначимо такі властивості параметрів квадратичної функції.
1.    При зміні параметра а ( параметри b та  c не змінюються) в формулі квадратичної функції, графік параболи деформується прямокутній системі координат хОу  відносно власної осі симетрії(вітки параболи звужуються (½а½> 1  ) до осі симетрії, або розтягуються (½а½£ 1  )  від осі симетрії).
2.     При додатному значенні параметра а – обидві вітки квадратичної параболи напрямлені вгору. При від’ємному значенні параметра а – обидві  вітки квадратичної параболи напрямлені вниз.
3.    При зміні двох лінійних параметрів b та  c ( параметр  а    не змінюються) квадратичної функції f(x) = ax2+ bx+ c в прямокутній системі координат хОу  переміщується вісь симетрії параболи(графік не деформується по відношенню до власної осі симетрії),  тобто,  переміщується  вершина ( Хf; Yf ) параболи
f(x) = ax2+ bx+ c
в нову вершину ( Хr; Yr )  параболи
R(x) = ax2+ (b-k)x + c-l.
Знайдемо координати вершини ( Хf; Yf ) параболи f(x) = ax2+ bx+ c:

Хf = - b/(2a);
Yf = a(- b/(2a)  )2+ b(- b/(2a)  )+ c = -b2/4a + c.

Знайдемо координати вершини ( Хr; Yr )  параболи R(x) = ax2+ (b-k)x + (c-l) та дізнаємося як перемістилися ці координати в прямокутній системі координат хОу по відношенню до вершини ( Хf; Yf ):
Хr=( k- b)/(2a) = Хf + k/2a;
Yr = a(( k- b)/(2a))2+ (b –k) (( k- b)/(2a))+ c- l =
=  -(b-k)2/4a + c-l= (- b2+ 2bk - k2)/4a    + c- l =
= Yf +(2bk - k2)/4a   - l .
Звідси отримали таке переміщення двох вершин  парабол:

( Хr; Yr ) ®f + k/2a ; Yf +(2bk - k2)/4a   - l ).

За властивістю переміщення можна рухати не вершину ( Хf; Yf ) параболи f(x) = ax2+ bx+ c, а осі   координат. Отже, досить циркулем та лінійкою виконати паралельне перенесення координатних осей в точку
                                      (-k/2a- (2bk - k2)/4a   - l ).
Відповідь: можна.

1.  Для  функцій f(x) = x2 + 2x -3 
а) перевірити правильність заповнення таблиці значень функцій;
б) побудувати в прямокутній системі  координат xOy графік  даної функції;
в) знайти і записати область визначення даної функції D(f);
г) знайти і записати область значення даної функції Е(f)
ґ) знайти і записати нулі даної функції;
д) знайти і записати числові проміжки, на яких додатна функція, тобто f(x) > 0
е) знайти і записати числові проміжки, на яких від’ємна функція f(x) < 0;  ;
є) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція зростає;
ж) знайти і записати числові проміжки, на яких  функціяспадає;
з) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція постійна;
і) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція невизначена;
к) знайти і записати точки перетину з віссю ординат даної функції ; 
л) знайти і записати проміжки неперервності даної функції; 
м) знайти і записати локальні мінімуми та максимуми  даної функції; 
н) знайти і записати глобальні мінімуми та максимуми  даної функції;
о) знайти і записати точки перегину  даної функції;
р) знайти і записати точки розриву даної функції.

       

0 коментарі(в):

Дописати коментар

Підписка на Дописати коментарі [Atom]

<< Головна сторінка