Квадратична функція та її властивості.
Квадратична функція та її
властивості.
Означення. Функції вигляду f(x) = ax2 + bx + c називається
квадратичною, якщо a - ненульове
дійсне число, b, с – дійсні числа.
Графіком квадратичної функції у = ax2 + bx + c є крива лінія, яку
називають квадратичною параболою.
Дискримінант D = b2 – 4ac,
Нулі квадратичної функції:
х1 = (‒ b ‒ (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a),
х2 = (‒ b + (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a).
ТРИ способи запису квадратичної функції:
у (x) = f(x)= ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)= а(х -0,5b:a)2 – 0,25D:a.
Координати вершини квадратичної параболи:
хв = - 0,5b:a; ув = - -0,5b:a.
Теорема Вієта
Теорема Вієта
Приклад 1. Побудувати графік
функції, користуючись шаблонами
y = 2(x - 2)2 – 4
Схема побудови графіків:
1. y1
= x2 – графіком є парабола з вершиною в
точці (0;0).
2. y2 = (x - 2)2 – рух графіка у1
вздовж осі Ох на 2 одиниці вправо.
3. y3 = 2(x - 2)2 – звуження графіка у2 до осі симетрії (збільшення ординати
вдвічі).
4. y4 = 2(x - 2)2 – 4 – рух графіка у3 вдовж осі Оу на 4
одиниці вниз.
Приклад
2. Графік квадратичної функції задано
формулою:
f(x) = ax2 + bx + c.
Знайти усі нулі параболи, вершину
параболи та коефіцієнти a, b, c, якщо відомо, що
f(1) = 2010; f(–1) = 0.
Розв’язання.
Знайдемо
значення функції при х = 1.
f(1) = a×12 + b×1 + c = a + b + c = 2010.
Таким чином, отримаємо.
a + b + c = 2010, (1)
Знайдемо нульове значення функції при х = -1.
f(–1) = a×(–1)2 + b×(–1) + c = a – b + c = 0,
звідси
випливає рівність
b = a + с . (2).
Вираз (2) підставимо у ліву частину виразу (1)
замість суми а + с, отримаємо:
b + a + c = b + b = 2010,
2×b = 2010,
b = 1005. (3)
Зазначимо, що х1 = –1 – нуль функції,
тобто, -1 – це корінь рівняння
ax2 + bx + c = 0.
У цього квадратного рівняння існує і другий
корінь. Знайдемо х2.
Використовуючи
теорему Вієта, запишемо суму коренів:
х1 + х2 = – b/а = – 1005.
(4)
Знаючи, перший корінь х1 = –1 і b = 1005, маємо два
рівняння:
–1 + х2 = –
1005.
– 1005/а = – 1005.
Звідси, отримаємо старший коефіцієнт
а = 1
та другий корінь:
х2 = – 1004.
Таким чином, маємо два нулі параболи: х1
= –1, х2 = – 1004.
Вкажемо ще один спосіб знаходження значення
старшого коефіцієнта а за
допомогою двох нулі і абсциси вершини
параболи.
Квадратична парабола є симетричною відносно прямої
у = – 0,5b/а.
Тому нулі х1 , х2
параболи – це симетричні точки на осі Ох
відносно точки хв = – 0,5b/а. Таким чином, хв = – 0,5b/а – це середина відрізка,
кінцями якого являються нулі параболи. Середину відрізка можна знайти за формулою:
хв = 0,5(х1 + х2) = – 0,5b/а.
Враховуючи рівність (3) та (4), маємо
хв = 0,5(х1 + х2) = 0,5×(-1005) = –502,5 = – 0,5×1005/а.
Отримали рівняння:
502,5 = – 0,5×1005/а.
Звідси, отримуємо
старший коефіцієнт: а = 1.
Знайдемо вільний
член с.
Використовуючи
теорему Вієта запишемо добуток коренів:
х1×х2 = с/а = с:1 = с.
Тобто, вільний член
с = х1×х2 = -1×(–1004) = 1004.
Остаточно,
а = 1, b = 1005, с = 1004.
Приклад 3. Дано
графіки квадратичної функції
f(x) = ax2+ bx+ c, де a¹0
та лінійної функції
g(x) = kx+l
в прямокутній
системі координат хОу.
Чи можна за
допомогою циркуля та лінійки виконати побудову
різниці графіків f(x) - g(x)?
Розв’язання. Якщо утворити різницю
R(x) = f(x) - g(x) = ax2+ bx+ c – kx - l = ax2+ (b-k)x + (c-l),
то отримаємо квадратичну функцію R(x), у якої на відмінну
від квадратичної функції f(x) змінилися параметри лінійної частини.
Зазначимо такі властивості параметрів квадратичної функції.
1. При зміні параметра а (
параметри b та c не змінюються) в формулі квадратичної функції, графік
параболи деформується прямокутній
системі координат хОу відносно власної осі симетрії(вітки параболи
звужуються (½а½> 1 ) до
осі симетрії, або розтягуються (½а½£ 1 ) від
осі симетрії).
2. При додатному значенні параметра а –
обидві вітки квадратичної параболи напрямлені вгору. При від’ємному значенні
параметра а – обидві вітки квадратичної
параболи напрямлені вниз.
3. При зміні двох лінійних
параметрів b та c ( параметр а не змінюються) квадратичної функції f(x) = ax2+ bx+ c в прямокутній системі
координат хОу переміщується вісь
симетрії параболи(графік не деформується по відношенню до власної осі
симетрії), тобто, переміщується
вершина ( Хf; Yf ) параболи
f(x) = ax2+ bx+ c
в нову вершину ( Хr; Yr ) параболи
R(x) = ax2+ (b-k)x + c-l.
Знайдемо координати вершини ( Хf; Yf ) параболи f(x) = ax2+ bx+ c:
Хf = - b/(2a);
Yf
= a(- b/(2a) )2+ b(- b/(2a) )+ c = -b2/4a + c.
Знайдемо координати вершини ( Хr; Yr ) параболи R(x) = ax2+ (b-k)x + (c-l) та дізнаємося як
перемістилися ці координати в
прямокутній системі координат хОу по
відношенню до вершини ( Хf; Yf ):
Хr=( k- b)/(2a) = Хf + k/2a;
Yr
= a(( k- b)/(2a))2+ (b –k) (( k- b)/(2a))+ c- l =
= -(b-k)2/4a
+ c-l= (- b2+ 2bk - k2)/4a + c- l =
= Yf +(2bk - k2)/4a - l .
Звідси отримали таке переміщення двох вершин парабол:
( Хr; Yr ) ® (Хf + k/2a ; Yf +(2bk - k2)/4a - l ).
За властивістю переміщення можна рухати не вершину ( Хf; Yf ) параболи f(x) = ax2+ bx+ c, а осі координат. Отже,
досить циркулем та лінійкою виконати паралельне перенесення координатних осей в
точку
(-k/2a;
- (2bk - k2)/4a - l ).
Відповідь: можна.
1. Для
функцій f(x) = x2 + 2x -3
а) перевірити правильність
заповнення таблиці значень функцій;
б) побудувати в прямокутній
системі координат xOy графік даної
функції;
в) знайти і записати область
визначення даної функції D(f);
г) знайти і записати область
значення даної функції Е(f);
ґ) знайти і записати нулі даної
функції;
д) знайти і записати числові
проміжки, на яких додатна функція, тобто f(x) > 0;
е) знайти і записати числові
проміжки, на яких від’ємна функція f(x) < 0; ;
є) знайти і записати числові
проміжки, на яких функція зростає;
ж) знайти і записати числові проміжки,
на яких функціяспадає;
з) знайти і записати числові
проміжки, на яких функція постійна;
і) знайти і записати числові
проміжки, на яких функція невизначена;
к) знайти і записати точки
перетину з віссю ординат даної функції ;
л) знайти і записати проміжки
неперервності даної функції;
м) знайти і записати локальні
мінімуми та максимуми даної
функції;
н) знайти і записати глобальні
мінімуми та максимуми даної функції;
о) знайти і записати точки
перегину даної функції;
р) знайти і записати точки
розриву даної функції.
0 коментарі(в):
Дописати коментар
Підписка на Дописати коментарі [Atom]
<< Головна сторінка