Функціональні рівняння

Функціональні  рівняння

    Перші функціональні рівняння виникли при розв’язуванні деяких задач з механіки, а математики досліджували їх ще у ХVIII - ХIХ  століттях. Такі визначні математики, як Леонард Ейлер, Карл Гаусс, Микола Лобачевский, та інші не раз зверталися до таких рівнянь у своїх наукових працях. Наприклад, засновник неевклідової геометрії Микола Іванович Лобачевский використав функціональне рівняння

f(x) =  ( f(y + x)f(y + x))^0,5

для означення кута паралельності. Леонард Ейлер застосовував такі рівняння при розв’язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Функціональне рівняння

f(x+y)-f(x-у)=2f(y)f(x)

має цікаве застосування в механіці, зокрема для обґрунтування закону додавання сил.

     Часто математики використовують функціональні рівняння для аналітичного обґрунтування побудов різних функцій, наприклад, показникової, логарифмічної, тригонометричних. Бо цей підхід має переваги перед геометричним, що обумовлено вибором різних геометрій, адже він є законним як в евклідовій, так і неевклідовій аксіоматиці.

   Ще двісті років тому великий вклад в теорію розв’язування  вніс французький математик Огюстен Коші (1789-1857). На честь нього названо одне з найвідоміших функціональних рівнянь

f(x+y)=f(x)+f(y),                                 (1)

котре  має розв’язком будь-яку адитивну функцію. Наприклад, лінійна однорідна функція

f(x )= ах                                               (2)

являється розв’язком цього рівняння. Покажемо, що ця функція справді  являється розв’язком рівняння (1).

Праву та ліву частини рівняння (1) можна записати:

f(x)+ f(у) = ах+ау    

та   

а(х+у) = f(x+y)

Так як ліві частини останніх двох рівностей рівні, бо

ах+ау= а(х+у),

то отримуємо рівність для правих частин:

f(x+y)=f(x)+f(y).

     Зауважимо, що множина адитивних функцій не обмежуються лише множиною лінійних однорідних  функцій.  Німецький математик   Г.Гамель (1877-1954) сконструював адитивну функцію, котра не входила до множини лінійних однорідних функцій. Основна властивість гамелевої знахідки полягала в тому, що вона не обмежена зверху на довільному інтервалі. Прикро, але результат Гамеля настільки складний, що навести його немає змоги.

      Рівняння Коші (1)  використовується у проективній геометрії та теорії ймовірностей.

     У шкільній математиці учні  неявно зустрічаються з функціональними рівняннями:  

f (-x)=f(x)                                           (3)

f(-x)=-f(x)                                           (4)

f (x+Т)=f(x)                                        (5)

коли вивчають  такі властивості   тригонометричних функцій, як  парність,  непарність, періодичність.

    Взагалі, функціональні рівняння – це певна математична рівність, або співвідношення, для якої потрібно сконструювати або вивести невідому функцію із  різними властивостями або умовами.  Розумно, звичайно вимагати від функціональних рівнянь унаслідування властивостей звичайних рівнянь.  Наприклад, найпростіші функціональні рівняння, для яких знайдено способи розв’язку: 

f ((х+у)\ (х-1) )  =  f(2х)                            (6)

f  ((х+у)\ (х-у) )  =  f(x) + f(y))                     (7)

f(x+y) - f(x-y) = 2 f(x) f(y)                      (8)              

f(x+y)  - f(x-y) = 2 f(x) cosy                   (9)

f(x+1) + f(x) = x                                   (10)                             

2f(1-x) + 1 = x f(x)                               (11)  

   Давайте сконструюємо функціональне рівняння. Для цього згадаємо властивість добутку степенів

а^х а^у = а^х+у             (12)

        Враховуючи, що

  f(x) = а^х ,   f(у) =  а^у   та    а(х+у) = f(x+y),

матимемо таке функціональне рівняння

   f(x+y) = f(x)f(y),                             (13)

    З іншої сторони отримаємо розв’язок рівняння (13) .

     Приймемо заміну аргументу  

х = у = 0,5z ,

тоді                            

f(z) = f 2(0,5z) >=  0,                                   

тобто  функція  невід’ємна.  Проте насправді,

f(z)>0

для будь-яких дійсних z.

    Припустимо, що для деякого значення  х   f(x)=0, отримаємо з рівності (13)  для довільного значення  z = х+у  необхідне співвідношення

f(z)=0.

Таким чином,  функція що задовольняє  (13) завжди додатня.

       Щоб знайти розв’язок  функціонального рівняння (13), позначимо

f(1) = а>0

та скористаємося допоміжною функцією

           g(x)=logaf(x),  адже  f(х)>0

тобто

f(x) = а g(x) .                     (14)

Тоді рівняння (13)   матиме вигляд

а g(x+у) = а g(x) а g(у)   або   g(x+у) = g(x)+ g(у)

    Останнє рівняння  типу Коші, зазначимо, якщо обмежити  f(x) зверху хоча б на одному інтервалі (s; s+t), де t – деяке додатне число, то отримуємо обмеженість зверху функції  g(x) на цьому інтервалі.        Таким чином можна вважати, що

g(x )= кх, де к – деяка стала.

Із рівності (14) отримуємо

f(x)= а^кх

Оскільки,  

               f(1)= а,  то к =1

тому розв’язком рівняння буде f(x)= а^х.

         Варто зазначити, що єдина функція f , яка не дорівнює нулю, неперервна на множині дійсних чисел і задовольняє рівняння (13) – саме показникові функції f=a^x.

          Розв’язувати  функціональні  рівняння можна різними способами. Але слід запам’ятати такий факт:

Означення. Функція f: RR  називається алгебраїчною на області визначення, якщо для деякого натурального n і деяких многочленів

 Р₀(х), Р₁(х), Р₂(х), Р₃(х),......, Рn(х) виконується рівність

Р₀(х) + Р₁(х) f(x) + Р₂(х) f²(x)+ Р₃(х) f³(x)+......+Рn(х) fⁿ(x)=0.

Алгебраїчна функція  може бути роз’язком системи алгебраїчних рівнянь.

В основу класифікації елементарних функцій покладено принцип дихотомії.

Дихотомія – це особливий вид ділення, коли дане поняття ділять на два суперечливі.

     Наприклад:

                      Елементарні функції:

А) Трансцендентні функції;  

Б) Алгебраїчні функції:

                                 а) Ірраціональні функції;

                                  б) Раціональні      функції:

                                            1.Цілі функції;   

                                            2. Дробові функції.

Трансцендентні функції – це клас показникових, тригонометричних, логарифмічних, обернених тригонометричних та усіх інших функцій, які не являються алгебраїчними.