середа, 11 червня 2014 р.

ЗАДАЧІ ОЛІМПІАДНОГО РІВНЯ ДЛЯ УЧНІВ 8 КЛАСУ


Розв’язування ОЛІМПІАДНИХ задач.


1
2
3
4
5
6
n

n2
n3
n4
n4k
nk
...1
1
1
1
1
1
2
4
8
6
6
-
3
9
7
1
1
-
4
6
4
6
6
-
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
7
9
3
1
1
-
8
4
2
6
6
-
9
1
9
1
1
-
0
0
0
0
0
0
 У цій таблиці наведено останні цифри натуральних чисел, квадратів, кубів, четвертих степенів і так далі.
Використовуємо цю таблицю для розв’язування задач.
Задача 1. Знайти остачу від ділення квадрата цілого числа на 5.
Розв’язання:
Квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9.(колонка 2) то при їх діленні  на 5 одержуємо 0, 1 або 4.
Задача 2. Чи може число виду 1k+5m+6n, де k, m, n – довільні натуральні числа, бути довільним квадратом.
Розв’язання: Кожний доданок закінчується відповідно цифрами: 1, 5 і 6 (колонка 6) і тому їх сума закінчується цифрою 2, а таке число не може бути точним квадратом.
Задача 3. Довести, що число 5353- 3333 ділиться на 10.
Розв’язання: При виділенні показників степенів 53 і 33 на 4 в остачі одержуємо в кожному випадку 1. Отже, остання цифра числа 5553 така сама, як числа 3333, бо534*13+1 і 334*8+1, отже, остання цифра різниці 0, і ця різниця ділиться на 10.
 Задача 4. Які остачі можуть мати точні квадрати при діленні на 3?
Відповідь: 0; 1; (3k±1)2=9k2±6k+1.    (3k)2=9k.
Задача 5. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 4?
(2k)2=4k2
(2k+1)2=4k2+4k+1
Відповідь: 2; 3.
Задача 6. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 5?
Відповідь:2 і 3. (5k)2=25k2+0
(5k±1)2=25k2±10k+1
(5k±2)2=25k2±20k+4
Задача 7. Довести, що при будь-якому цілому n число n(n-3)(n2-3n+14) ділиться на 24?
Доведення:
n (n-3)(n2-n-2n+2+12)=n(n-3)(n(n-1)-2(n-1)+12=n(n-3)(n-1)(n-2)+12n(n-3). Це число ділиться на 24, бо:
1.    n(n-1)(n-2)(n-3) ділиться на 3і 8 Þділиться на 24.
2.    12n(n-3) ділиться на 12 і 2, бо n(n-3)- просте числоÞділиться на 24.

Підсумок заняття. 
Мозковий штурм.

Кожний сірник має довжину 5 см. 
Як із 15 сірників скласти метр( викласти слово “метр”).

Каталог олімпіадних задач з алгебри.
Рівень С. Нерівності.
0. При яких значеннях a та b можна стверджувати, що виконується ланцюжок нерівність:  
min{ a; b} < 2ab(a + b)-1 < (ab)0,5< 0,5(a + b) < 0,5(a2+ b2) 0,5 < max{ a; b}
1. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{ b; - b} < min{ a; - a}? Відповідь обґрунтувати.
2.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:
·       max{ b; - b} - min{ a; - a} < /a/ + /b/;
·       max{ a; b} - min{ 1:a;  1:b } > 2;
·       max{ ab; ba} - min{ 1:ab;  1:ba } > 2;
·       max{ ab; a:b} + min{ ab;  a:b } > 2;
·       max{ a; b} + max{ 1:a;  1:b } > 2;
·       min{ ab; ba} + min{ 1:ab;  1:ba } > 2;
·       max{ ab; a:b} + min{ ab;  a:b } > 2;
·      max{ b; - b} + min{ a; - a} < /a/ + /b/;
·       max{ b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;
·      max{ a; - a} + min{ b; - b} < /a/ - /b/;
·       max{ b;a- b} + min{ a; b - a} < -a + b;
·       max{ b; - b} + max { a; - a} < -a – b;
·      max{ b; - b} + max { a; - a} < /a/ + /b/;
·       max { b; - b} + max { a; - a} < b – a;
·       min { b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;
·      min { b; - b} + min{ a; - a} < -/a/  - /b/;
·       min { a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b -/a-b - a:b/];
·       max{ a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b +/a-b - a:b/];
·       min { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;
·       max { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;
·       min { ab; a- b; a/b; a+b; b/a;  a- b; ab; ba } < ab+ ba;
·       max { ab; a- b; a/b; a+b; b/a;  a- b; ab; ba } < ab+ ba;
3.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  
max{ b; - b}*min{ a; - a} < ab;
max{ b; - b}*mах{ a; - a} < ab;
min{ b; - b}*min{ a; - a} < ab?
4.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  
max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b – a;
max{ a+b;  b - a; a - b } – min{ a+b;  b - a; a - b} < b – a;
max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b - a?

6. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{ b; - b}:min{ a; - a} < b:a?
7. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  (ab)0,5 +1 < (a + 1)0,5(b + 1)0,5 Відповідь обґрунтувати.
8. Доведіть, що якщо сума двох взаємно обернених чисел не менше двох, тобто для добутку чисел a∙b=1, тоді
а/b+ b/a > = 2
9. Доведіть, що якщо для невід’ємних b: 1/b+ b > = 2
10.Доведіть, що якщо для невід’ємних чисел a∙b=1, тоді
                                         (a+b)2.
11. Доведіть, що якщо для невід’ємних  m чисел a∙b∙c∙d∙e∙…∙f=1, тоді
(a + b + c + d + e +…+f)>= m.
12. Доведіть, що для довільного а вірно:
а2>= 0.
13.Доведіть, що для  додатного числа  а>0  та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:
ax2+bx+c>0.
14. Доведіть, що для від’ємного числа  а<0  та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

                                              ax2+bx+c<0.

15.При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність:  5x(2а  - 5x)  - а2 ≥ 1? Відповідь обґрунтувати.
16.При яких значеннях х та y можна стверджувати, що виконується нерівність:  х2 – 2(х – y) + у2 ≤ 2? Відповідь обґрунтувати.
17.При яких значеннях х та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  /х - a/ + /х + a/ ≤ 2? Відповідь обґрунтувати.
18. При яких значеннях х та а не можна стверджувати, що виконується нерівність: x2 + 2ax + a2 > 0? Відповідь обґрунтувати.
19. При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність: x4 + 2x2 + a4 +2a2 > -2? Відповідь обґрунтувати.
20. При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність: x4 + 2x2 + a4 +2a2 > -2? Відповідь обґрунтувати.
21. При яких значеннях х та а не можна стверджувати, що виконується нерівність: x + 1/x + 1/a + a < -4? Відповідь обґрунтувати.
22. При яких значеннях х не можна стверджувати, що виконується нерівність: x2 + 1/x2 >7? Відповідь обґрунтувати.
23. При яких значеннях х можна стверджувати, що виконується нерівність: 4x2(х3-1) - 3(1 – 2х2) > 4 (х5-1)? Відповідь обґрунтувати.
24. При яких значеннях a можна стверджувати, що виконується нерівність: a-a/-a2 -1/ < 1 – a2(a - 1)? Відповідь обґрунтувати.
25. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: у2 < ух2.
26. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: x3 < y5.
27. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: у2 < /2yx/ - х2.
28. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: /x3/ < y5.
29. Довести, що а3 + а2с – abc + b2c + b3 = 0, якщо a + b + c = 0.
30. Довести, що ах + 2х + ау +2у +4 = а2, якщо a - 2 = х + у.
31.  Доведіть нерівності способом зведення до класичної нерівності Коші:
а) (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc;   
б) (k + 4m)(m + 4n)(n + 4k) >= kmn;      
в) (2x + 2y)(2y + 2z)(2z + 2x) >=xyz;
32. Розв’язати  графічно нерівність :  /2x-3y/+ /3x-2y/≤5. Знайти площу отриманої геометричної фігури.


Рівень А
1. При яких цілих значеннях х значення виразу (5х + 10 – 2х2 )(2х-1)-1 є натуральним числом?
2. Доведіть, що при всіх натуральних m число (m-1)m(m+1)(m+2)+1 - cкладене число.
3. Розкласти на множники (m-1)m(m+1)(m+2) – 24.
4. Розв’язати рівняння: (m-2)(m-1)m(m+1) – 3 = 0.
5. Розв’язати рівняння в цілих числах:  mn = n + m.
6. Розв’язати рівняння в цілих числах:  mn + n + m +1 = 0.
7. Розв’язати рівняння:  2m2 + n2 = 2nm+4m.
8. Розв’язати рівняння в цілих числах: 
a)/n/+ /m/ - 2 = 0; 
b)/n-2/+ /m-2/ - 2 = 0;
c)/n-2/+ /n+2/ - 2 = 0.
9. Розв’язати рівняння в цілих числах:  xy + x - 5y +6 = 0.
10. Розв’язати рівняння:  (m-1)0,5+ 2(n-1)0,5 = 0,5(n+m).
11. Доведіть, що amn + bn + cm +d = (m + c:a)(an +b)+d – cb:a.
12. Доведіть, що am2 + bnm + cm2 = a(m - k1n)(m - k2n), де  k1 , k2 корені квадратного рівняння ak2 + bk+ c=0.
13. Доведіть, що 19m3 - 17m2 = 51 не має розв’язків в натуральних числах.
14. Розв’язати параметричне рівняння з невідомим х:
(x2 + ax + a2)(x – ax + a2)-1= a2x-2.
15. Розв’язати рівняння:  2у = 1+ х + x2 + х3.
16. Розв’язати рівняння:  x2 + x -2 + 0,5x – 0,5x -1 = 5.
17. Розв’язати рівняння:  [х +3 - 4(х-1) 0,5]0,5+ [х + 8 - 6(х-1) 0,5]0,5= 1.
18. Доведіть, що mn + n + m + d = (m + 1)(n +1)+ d – 1.
19. Розв’язати нерівність в натуральних числах:  1/11 < m/n < 1/10.
20. Доведіть, що  22013 -1 складене число.
21. Відомо, що a + b + c < 0 і що ax2 + bx + c = 0 не має дійсних коренів. Визначити знак числа с.
22. Доведіть, що п’ятий степінь кожного натурального числа закінчується такою самою цифрою, як і перший степінь.
23. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(**)=1*1.
24. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(92)=***.
25. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)+(**)=*97.
26. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(45)=*3*.
27. Знайти невідомі цифри , якщо:  КУТ = БАк.
28. Знайти невідомі цифри , якщо:  ЦИФРА = ДВа.
29. Знайти невідомі цифри , якщо:  ВОДА+ВОДА+ВОДА = ОКЕАН.
30. Розв’язати рівняння в цілих числах:  6х2-3xy -7x +2y +15 = 0.
31. Розв’язати рівняння:  [х2 +3 - 4х]0,5+ 2[9 - 3х]0,5=3[ 2х-2]0,5+ [24]0,5.
32. Розв’язати рівняння:  2x4+ 5x3- 4x2 – 10x -3= 0.
33. При яких значеннях параметра а рівняння
x4-(2а-1)x2 – а2 -1= 0 має два різних корені?
34. Розв’язати в цілих числах рівняння: X! +У! = 144,05, де степеневий факторіал означає таку суму взаємно обренених чисел N! =  N!+ 1/N!.
35. При яких значеннях х та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{х; - x} = min{a; - a}? Відповідь обґрунтувати.

36. Розв'язати рівняння (1 + 4х2) (1 + 9у2) = 24ху.

опубліковано Сергій Негода @ 10:32   0 коментарі(в)

0 коментарі(в):

Дописати коментар

Підписка на Дописати коментарі [Atom]

<< Головна сторінка