ЗРАЗКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ КОМБІНАТОРИКИ

ЗРАЗКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ  КОМБІНАТОРИКИ ДЛЯ УЧНІВ 8 КЛАСУ

Задача 1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород – Сіверська – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород – Сіверськ?

Розв’язання. Очевидно, число різних шляхів з Києва до Новгород-Сіверська дорівнює 4∙2 = 8, бо, обравши один з чотирьох можливих способів подорожі від Києва до Чернігова, маємо два можливих способи подорожування від Чернігова до Новгород-Сіверська.

Такі міркування, які були проведені при розв'язуванні задачі 1, доводять справедливість такого простого тверджен­ня, яке будемо називати основним правилом комбінаторики.

Якщо деякий вибір А можна здійснити m різними спосо­бами, а для кожного з цих способів деякий другий вибір В можна здійснити n способами, то вибір А і В (у вказаному порядку) можна здійснити m∙n способами.

Інакше кажучи, якщо певну дію (наприклад, вибір шля­ху від Києва до Чернігова) можна здійснити m різними спо­собами, після чого другу дію (вибір шляху від Чернігова до Новгород-Сіверська) можна здійснити n способами, то дві дії разом (вибір шляху від Києва до Чернігова, вибір шляху від Чернігова до Новгород-Сіверська) можна здійснити m∙n способами.

Задача 2. У розиграші першості країни з футбола бере участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

Розв’язання. Золоту медаль може одержати одна з 16 команд. Після того, як визначено володаря золотої медалі, срібну медаль може мати одна з 15 команд. Отже, загальне число способів, якими може бути розподілена золота і срібна медалі, до­рівнює 16∙15 = 240.

Сформулюємо тепер основне правило комбінаторики (правило множення) в загальному вигляді.

Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n₁ способами, другу дію – n₂ способами, третю дію – n₃ способами і так до k-ї дії, яку можна вико­нати n_k способами, то всі k дії разом можуть бути виконані  n₁∙ n_2∙ n₃∙…∙ n_k-1∙n_k способами.

Задача 3. Скільки чотиризначних чисел можна склас­ти з цифр 0, 1,2, 3,4, 5, якщо:

а)      жодна цифра не повторюється більше одного разу;

б)      цифри можуть повторюватись;

в)      числа повинні бути непарними?
Розв'язання.  а) Першою цифрою числа може бути одна з 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0 не може бути, бо тоді число не чотиризначне); якщо перша цифра обрана, то друга може бути обрана 5 способами, третя – 4, четверта – 3. Згідно з правилом множення загальне число способів дорівнює 5∙5∙4∙3 = 300.

б)      Першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5 (5 можливостей), для кожної з наступних цифр маємо 6 мож­ливостей (0, 1,2,3, 4, 5). Отже, число шуканих чисел дорів­нює 5∙6∙6∙6=5∙ 6³ = 1080.

в)      Першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5, а останньою – одна з цифр 1,3,5, (числа повинні бути не­парними). Отже, загальна кількість чисел дорівнює 5∙6∙6∙3 = 540.

Для того щоб добре засвоїти основне правило комбінато­рики, обов'язково треба розв'язати подані нижче вправи.

Вправи

4. Скільки існує п’ятицифрових чисел, для запису яких використовуються тільки цифри: а) 1, 2, 3, 4  б) 0, 1, 2, 3?( Кожна цифра може бути використана декілька разів).

Відповідь: а)4⁵ , б) 3∙4⁴.

5.На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способами турист може піднятись на гору і спуститись з неї? Дайте відповідь на те ж саме запи­тання, якщо підняття і спуск відбуваються різними шляхами.

 Відповідь: 49 способи, 42 способи.

6.В наряд можна послати трьох чоловік, одного із п’яти офіцерів, одного із семи сержантів і одного із 20 солдат. Скількома способами можна скласти наряд?

Відповідь: 20∙7∙5.

7. а)Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Відповідь: 3⁵.

В наряд можна послати двох чоловік, одного із трьох сержантів і одного із 6 солдат. б)Скількома способами можна скласти наряд? Відповідь: 3∙6 =18.

8.Скільки різних дільників має число 3⁵∙5⁴? Відповідь: (5+1)∙(4+1) = 30. Скласти таблицю всіх дільників.

9. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу? Відповідь: 5∙4∙3.

10. Скількома способами 7 осіб можуть розташуватись в чергу до каси? Відповідь: 7∙6∙8∙5∙4∙3∙2∙1.

11. В класі вивчають 14 предметів. В понеділок 7 уроків, причому всі уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

12. Скільки є п'ятизначних чисел, які діляться на 5?

13. П'ять хлопчиків і 5 дівчаток сідають в ряд на 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити? Відповідь: (5!)∙(5!)

14. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «математика»? Відповідь: 10!/(3!∙2!∙2!)

15.Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох букв і чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, використовуючи 33 букви алфавіту.

16. В селищі мешкає 1500 жителів. Довести, що принаймні два з них мають однакові  ініціали.

17. Скільки різних дільників має число 6⁶∙7⁴?

18. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу? Відповідь: 5∙4∙3.

Скількома способами 7 осіб можуть розташуватись в чергу до каси? Відповідь: 7∙6∙8∙5∙4∙3∙2∙1.

19. В класі вивчають 10 предметів. В понеділок 6 уроків, причому всі
уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

Скільки є п'ятизначних чисел, які діляться на 5? Відповідь: 10∙9∙8∙7∙6∙5= 151200

20. П'ять хлопчиків і 5 дівчаток сідають в ряд не 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити? Відповідь: (5!)∙(5!)

21. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «арифметика»?

22. Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох букв і чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, використовуючи 30 букви алфавіту.

23. Скільки різних дільників має число 8³∙9⁴? Скласти таблицю всіх дільників цього числа.

24. Від А до В 999 км. Вздовж дороги стоять стовпи, на яких вказано відстані до А і до В | 0.999 | ; | 1.998| ; | 2.997] ; . . . ; | 999.0 |. Скільки серед них таких, на яких є тільки дві різні цифри? Відповідь: 40.

25. Пасажир залишив речі в автоматичній камері схову, а коли при­йшов одержувати речі, то виявилось, що він забув номер. Він лише па­м'ятає, що в номері були цифри 23 і 37. Щоб відкрити камеру, треба пра­вильно набрати п'ятизначний номер. Яку найбільшу кількість номерів треба перебрати, щоб відкрити камеру?

25. В прямокутній таблиці з m рядків і n стовпців записані числа +1 і -1 так, що добуток чисел в кожному рядку і кожному стовпці дорівнює 1. Скількома способами це можна зробити?

Відповідь: Всі таблиці, які мають вказану в умові задачі властивість, можна скласти так. Всюди, крім останнього рядка і останнього стовпця, до­вільно виписуємо +1 і –1. Це можна зробити 2^(n-1)(m-1) способами. Нехай р – добуток всіх виписаних чисел. Тепер в кожному з перших m -1  рядів на перетині з n-м стовпцем виписуємо +1 або –1 так, щоб добуток чисел в усьому рядку дорівнював 1. Позначимо добуток чисел, які будуть виписані в n-му рядку, через x. Тепер в кожному з перших n-1 стовпців на перетині з m-м рядком випишемо теж +1 або –1 тaк, щоб добуток в стовпці дорівнював 1. Добуток чисел, які будуть виписані в m-му рядку, позначимо через у. Зауважимо, що х і у мають однаковий знак. Справді, рх = 1, ру = 1. і тому р²ху = 1, і, значить, ху > 0. Випишемо на перетині т-го рядка і л-го стовпця 1 з тим знаком, який мають х і у. Тоді добуток чисел в n-му стовпці і m-му рядку також до­рівнюватиме 1. Склали таблицю, яка має вказану властивість. Число всіх  таких   таблиць   дорівнює  2^(n-1)(m-1).

26. На залізниці є десять семафорів, кожний з яких може передати три сигнали: червоний, жовтий, зелений. Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх семафорів. Відповідь: 3^10.

27. Існує десять ліхтариків, кожен з яких може бути або включений, або виключений.Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх ліхтарів? Відповідь: 2¹⁰.

28. Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може  пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

Відповідь: На другу горизонталь шашка може перейти одним способом, на третю – двома, на четверту – трьома, на п’яту – шістьма, на шосту – дев’ятьма, на сьому горизонталь – двадцятьма способами, а пройти в дамки шашка може 35 способами.

29. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва точка позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата? Відповідь: 25 трикутників.

30.В наряд можна послати двох чоловік, одного із трьох сержантів і одного із 6 солдат. б)Скількома способами можна скласти наряд? Відповідь: 3∙6 =18.

Зразки задач комбінаторики з повним обгрунтуванням
________________________________________
1. Скількома способами можна обтягнути 6 стільців тканиною, якщо є тканина шести різних кольорів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

Розв'язання. Перенумеруємо усі стільці і усі кольори. Перший стілець можна обтягнути 6 способами. Залишилося 5 різних кольорів вільних.  Другий стілець можна обтягнути 5 способами. Залишилося 4 різних кольорів вільних. Третій стілець можна обтягнути 4 способами. Залишилося 3 різних кольорів вільних. Четвертий стілець можна обтягнути 3 способами. Залишилося 2 різних кольорів вільних.  П’ятий стілець можна обтягнути 2 способами. Залишилося 1 колір вільний. Шостий стілець можна обтягнути 1 способом. Залишилося 0 кольорів і більше немає стільців.

За правилом добутку отримаємо Р₆ = 1∙2∙3∙4∙5∙6=6! = 720.

Відповідь: n = 720.

2 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

Відповідь: n = Р₁₀=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10 = 10!

3. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

Розв'язання.

Перестановкою без повторень (за умовою) заданих цифр можна утворити чотиризначне або тризначне (з нулем на першому місці) числа. Ніяк інакше такі числа отримати не можна. Загальна кількість перестановок чотирьох елементів без повторень Р =4∙3∙2∙1. З них перестановок з нулем на першому місці. Звідси шукана кількість чотиризначних чисел дорівнює n= 3∙3∙2∙1=18.

Відповідь: n = 18.

 4. Скількома способами можна скласти три­колірний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

Розв'язання.

Кількість триколірних смугастих прапорів, що скла­дені з тканини 5 кольорів, дорівнює числу розміщень без повторень 5 кольорів по трьох місцях на прапорі:

                                                       5∙4∙3 = 60

Якщо ж одна із смуг червона, то її на прапорі можна розташувати трьома способами. Для кожного з таких роз­міщень червоної смуги два кольори для смуг, що залиши­шся, можна вибрати з чотирьох кольорів і розмістити по двох місцях на прапорі  4∙3 = 12 способами. За правилом добутку з червоною смугою можна скласти

1∙4∙3 + 1∙4∙3 + 1∙4 ∙3 = 3∙4∙3 = 36 прапорів.

Відповідь: n₁ = 60,  n₂ = 36.

 5. Є 8 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

Розв'язання.

Йдеться про вибір трійки токарів з восьми з подальшим розміщенням їх біля трьох верстатів, що виготовляють різні деталі. Тому  n = 8∙7∙6 = 336.

Відповідь: n = 336.

6.  До профкому обрано 9 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. Скількома способами це можна зробити?

Відповідь: n =9∙8∙7∙6 = 3024.

7. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

Відповідь:  n = 11∙10∙9∙8∙7.

8. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо:

1)    Б не повинен виступати перед А;

2)    якщо Б мусить виступити відразу за А?

Розв'язання.

Загальна кількість можливих списків промовців дорівнює Р₅ = 5! = 120. З  них у половині списків Б виступає за А. Тому: 1) n₁=60.

Якщо ж Б повинен виступити відразу за А, то, вважаючи пару (А, Б) співпромовцями однієї доповіді, дістанемо, що 2) n₂ = 4! = 24 – кількість списків доповідей.

Відповідь: n₁ = 60,  n₂ = 24.

9. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?

Розв'язання.

З п'яти цифр можна утворити: одноцифрові, двоцифрові, ..., п'ятицифрові числа. Одноцифрових натуральних чисел, очевидно, буде чотири. Процес утворення двоцифрового числа можна описати так: з п'яти цифр на місце десятків можна 4 цифри(бо нуль не можна поставити на перше місце), а на місце одиниць можна поставити чотири цифри(бо одну цифру вже використали), таким чином, на двоцифрових чисел  4∙4 = 16.

Вибравши три цифри з п'яти і розмістивши їх на міс­цях для числа сотень, десятків і одиниць,  отримаємо

n₃  = 4∙4∙3 = 48 чисел

Аналогічно,

n₄ = 4∙4∙3∙2 = 96;

n₅ = 4∙4∙3∙2∙1 = 96.

Загальна ж кількість чисел

K =   n₁+ n₂+ n₃+ n₄+ n₅= 4 + 16 + 48+96 + 96 =260.

Відповідь: 260.

10. У Ніни є сім різних книг з математики, а у Мирослави – дев’ять різних книг з української літератури. Скількома способами вони можуть обмінятися один з одним п’ятьма книгами?

Розв’язання. Так як 5 різних книг із 7 можливих книг  можна вибрати: (7∙6)/(1∙2)=21, отже 21 спосіб може запропонувати Ніна. Так як 5 різних книг із 9 можливих книг  можна вибрати: (9∙8∙7∙6∙5)/(1∙2∙3∙4∙5)=126, отже 126 способів може запропонувати Мирослава. Таким чином число всіляких обмінів, згідно правилу добутку рівно 21∙126 =2646 способів.

Відповідь. 2646.

11. Номер автобусного квитка складається з 6 цифр. Квиток називають щасливим, якщо сума перших трьох цифр його номера рівна сумі трьох останніх цифр. Які автобусні квитків більше: щасливих чи тих, чиї номери діляться на 11?

Розв’язання. Щасливі квитки, згадані в умові, називатимемо щасливими по-київські. Назвемо квиток щасливим по-вінницьки, якщо сума цифр його номера, що стоять на парних місцях, рівна сумі цифр, що стоять на непарних місцях.

З'ясуємо спочатку, які щасливі квитків більше  по-київські або по-вінницькі? Їх порівну, оскільки між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність таким чином. Переставимо цифри номера квитка, щасливого по-київськи: перші три цифри поставимо на непарні місця (перше, третє і п'яте), а останні три цифри  на парних (наприклад, номер 129345 перетвориться на 132495.) Отримаємо щасливий по-вінницьки квиток.

Тепер відмітимо, що номер будь-якого квитка, щасливого по-вінницьки ділиться на 11. Зворотне невірно: існують не щасливі по-вінницькі квитки, номери яких діляться на 11, наприклад, якщо різниця сум цифр, що стоять на непарних і парних місцях, рівна 11. Тому квитків з номерами, що діляться на 11 більше,  ніж щасливих по-вінницьки, а значить і по-київські.

Довідка. Ознака подільності на 11: «Число ділиться на 11,  тоді і тільки тоді, коли сума його цифр, що стоять на парних місцях, мінус сума цифр,  що стоять на непарних місцях, ділиться на 11».

Відповідь.  Квитків з номерами,  що діляться на 11 більше.

Задачі для самостійного опрацювання

1.  Скількома способами можна вибрати голос­ну і приголосну зі слова «паркет»?

 2. а)Скількома способами можна вказати на ша­ховій дошці два квадрати – білий та чорний?

     б) Розв'яжіть цю задачу, якщо немає обмежень на колір квадрата.

    в) Розв'яжіть її, якщо потрібно вибрати два білих квадрати.

3. Скількома способами можна вибрати на шаховій дошці білий та чорний квадрати, що не лежать на одній горизонталі або на одній вертикалі?

4.Із 3 примірників підручника алгебри, 7 при­мірників підручника геометрії та 6 примірників підручни­ка фізики потрібно вибрати комплект, що містить по одно­му підручнику з кожного предмету. Скількома способами це можна зробити?

5. У кошику 12 яблук та 10 апельсинів. Іван­ко вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надійка вибирає з фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин.  Скільки можливостей таких виборів?  За якого вибору Іван­ка Надійка має більше можливостей вибору?

6. Скількома способами можна обтягнути 7 стільців тканиною, якщо є тканина 5 різних коль­орів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

7 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 8 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

8. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

 9. Скількома способами можна скласти три­кольорний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

10. Є 7 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

11.  До профкому обрано 6 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. Скількома способами це можна зробити?

12. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

13. На зборах мають виступити 6 чоловік: А, Б, В, Г, Д, Ж. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо:

1)    Б не повинен виступати перед А;

2)    якщо Б мусить виступити відразу за А?

14. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?