Розклад на множники для рівнянь

Задачі на доведення способом розкладу на множники

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих многочленів.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

n² – 4 = n² – 2² = (n – 2)(n + 2);

a² – 36 = a² – 6² = (a – 6)(a + 6);

                              64 - b²  = 8² – b² = (8–b)(8 +b).

1 – a⁶ =  1² – (a³)² = (1 – a³)(1 + a³).

Спробуйте самостійно виносити спільний множник за дужки  і потім перевіряти себе:

5q – 5p = 5(q - p),

ab+ac = a(b+c),

mb-mac = m(b-ac),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁵(1 – m²)= m⁵(1-m)(1+m),

15а + 15b = 15∙(a + b),

7mn + m = 7mn + 1m = m∙(7n + 1),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8g(p + 3t),

15а + 3а² - 9а³ = 3а( 5 + a – 3a²).

Деякі вчителі пропонують також вправи на винесення неспіль­них множників за дужки, маючи на увазі перетворення:

5q – 5p = 5q∙(1- p/q),

ab+ac = ac∙(b/c+1),

mb-mac = ma∙(b/a - c),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁷(1/m² –1),

15а + 15b = 15b∙(a/b +1),

7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/n),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t/p),

15а + 3а² - 9а³ = 3а³( 5/ a²  + 1/a – 3).

Наприклад? самостійно подумайте і заповніть прогалини у виразах, які відмічені знаком запитання:

35q – 35p = 35(? - ?),

kb+kc = ?∙(b+c),

mb-mbc = m(b-?c),

m⁸ – m⁹ = 1∙m^? – m^? ∙ m^? = m^? (1 – m^?),

50а + 25b =? ∙(?a + ?b),

70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),

- 8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙ (p + 3t),

125а + 50а² - 75а³ = ?∙а( 5 + ?∙a – 3a²).

3qt – 75wpt = 3∙?(? - ?),

13kb+39kc = ?∙(?∙b+?c),

92mb-46mbc = m(b-?c),

65m⁸ – m⁹ = 1∙m^? – m^? ∙ m^? = m^? (1 – m^?),

50а + 25b =? ∙(?a + ?b),

70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),

- 8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙ (p + 3t),

–125а + 250а² - 500а³ = ?∙а(?+ ?∙a –?a²).

Увага! Завдання на розуміння. Виконайте перевірку і знайдіть помилки та виправте їх:

5q – 5p = 5q∙(4- p/q),

ab+ac = ac∙(b/c+с),

mb-mac = ma∙(b/a -а),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁷(1/m² +1),

15а + 15b = 15b∙(a/b – b),

7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/m),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t),

15а + 3а² - 9а³ = 3а³( 5/ a²  + 1 – 3a).

.

Такі перетворення корисні,  і про   них   може  йти  мова  у зв'язку з вивченням дробових виразів.

Виконання цих вправ підготує вас до кращого засвоєння найваж­чого способу розкладання многочленів на множники –способу групування, який є природним узагальненням способу винесення спільного множника за дужки.

Так, пояснимо, як розкладається на множники вираз:

а ∙ (b + с) + x∙(b + с) = (b + с)∙(a + x),

а ∙ (w – v) + k∙(w – v) = (w – v )∙(a + k),

а ∙ (m + n) – bx∙(m + n ) = (m + n )∙(a – bx),

c ∙ (b² + pс) – 4x∙(b² + pс) = (b² + pс)∙(c – 4x),

4а ∙ (5b + 3с) + 7x∙(5b + 3с) = (5b + 3с)∙(4a + 7x).

Якщо ви не зможете цього зробити самостійно, то слід пос­тавити вам таке запитання: чи не дорівнює другий вираз першому? Часто цього буває досить, щоб ви зрозуміли, як мивиконували попереднє завдання. Наголошую на тому, що такі перетворення виразів є тотожними, тобто не порушують відомі нам математичні дії, проте вони дають можливість змінювати порядок дій у виразах або зменшувати кількість дій.

Тепер можна запропонувати вам самостійно розкласти на множники вирази:

а ∙ (n + с) + x∙ (n + с) = (? + ?)∙(a + x),

а ∙ (w – v) + k∙ (w – v) = (w – v )∙(? +?),

а ∙ (m + n) – bx∙ (m + n ) = (? + n )∙(a – ?),

c ∙ (b² + pс) – 4x∙ (b² + pс) = (b² +?)∙(? – 4x),

4а ∙ (5b + 3с) + 7x ∙ (5b + 3с) = (?+ ?)∙(? +?).

Розкладання многочлена на множники способом групування, як уже зазначалось, становить для вас значні труднощі, часто не відразу вдається  як слід згрупувати члени даного многочлена – доводиться випробовувати кілька способів групування доти, поки не буде знайдено найраціональніший. Тому ви маєте добре продумати перед тим, які доданки слід групувати, тобто шукати доданки зі спільними множниками.

Для цього пропоную вам таку систему вправ, щоб труднощі наростали повільно.

xm + ху + ау + аm = (xm + ху) + (ау + хm) =  x(m + у) + a(m + у) = (а + х) (m + у).

а² – ху – ау + ах = (а² + ах) – (ау + ху) =  а(а + х) – у(а + х) = (а +х)(а - у).

Наприклад, розглянуту щойно вправу можна виконати так:

а² - ху + ау + ах = (а² - ау) + (ах - ху) = = а(а - у) + х(а - у) = (а -у) (а + х).

Розгляньте складніші приклади:

3 - 6a + z - 2az = 3(1 - 2a) + z(1 - 2a) = (3 +z)(1 – 2a);

10ax - 5bx + 2ay - by = 5x(2a – b) + y(2a - b)  = (5x + y)(2a – b);

4a² – 4az – 3a + 3z = 4a(a – z) – 3(a – z) = (4a – 3)(a – z);

3x² – 3xy + 3y² – 3xy = 3x(x - y) + 3y(y - x) = - 3x(x -y) - 3y(x - y) = 3(x –y)(x – y);

a + a² - a³ - a⁴ = a(1+ a) - a³(1+ a) = (a - a³)(1 + a) =  a(1² - a²)(1 + a) = a(1- a)(1 + a)²;

a³ + a²b - a²c - abc = a²(a +b) - ac(a + b) = (a² - ac)(a + b) = a(a - c)(a + b);

3m - bx + mx - 3b = 3m - 3b - bx + mx =  3(m - b) + x (m - b) = (3 + x)( m - b);

ax + ay - az + nx + ny - nz = ax + nx + ay + ny - az – nz =x(a + n) + y(a + n) - z(a + n) = (a + n)(x + y - z);

a + b – 2 – ax - bx + 2x  = a – ax  + b – bx - 2 + 2x = a(1 - x) + b(1 - x) - 2(1 -x) = (1 – x)(a + b – 2);

2ax + cx - 6ax² - 3cx² + 2ac + c² = 2ax - 6ax² + 2ac + cx - 3cx² + c² =

2a(x - 3x² + c) + c(x - 3x² + c) = (2a + c)(x - 3x² + c);

Увага! Завдання на розуміння. Вкажіть помилку у даному перетворенні многочленів:

a² - ab - 4a + 4b = a(a - b) - 4(a + b) = (a - 4)(a - b);
ax + 3 + 3x + a = ax + a + 3x + 3 =  a(x + 1) + 3(x + 1) = (a + 3)(1 – x);

ac + 6 - bc - a = ac - a + b - bc = = a(c - 1) - b(1 - c) = a(c - 1) - b(c - 1) = (a - b)(c + 1).

Тепер можна запропонувати вам самостійно розкласти на множники вирази способом групування:

ac + ad + 2bc + 2bd;

2ax – 2ay – 3by + 3bx;

x²y – z²x + y²x – z²y;

x² – xy + xz – yz;

a³ + 2 + a + 2a²;

y⁴ + 3 – y – 3y³;

х³ + x – 3xy + 2 + 2х² – 6y;

ab – a + 5 – 5b – 5a² + a³;

4ax + 2ay – az – 4bx – 2by + bz;

6ax + 3bx – 3x + 6ay + 3by – 3y.

Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.

Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:

x(x- 15) + 3(x - 15) = 0

Винесемо  за дужки спільний множник x – 15, отримаємо:

(x + 3)(x - 15) = 0;

Маємо добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один із множників нульовий, тому прирівняємо до нуля перший та другий множник:

x + 3 = 0;

x₁ = -3 – перший розв’язок;

x - 15 = 0;

x₂ = 15 – другий розв’язок.

 Відповідь: x₁ = -3; x₂ =15.

Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.

Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:

x⁴ - (2 - x²)² = 0

Використаємо різницю квадратів a² – b² = (a–b)(a+b) і розкладемо на множники ліву частину рівняння:

(x² - 2 + x²)(x² + 2 - x²) = 0;  

 (2x² - 2) • 2 = 0

4(x² - 1) = 0;   

(x -1)(x + 1) = 0;   

x – 1 = 0;    x₁ = 1

x + 1 = 0;    x₂ = -1

Відповідь:x₁ = -1; x₂ =1.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a–b)(a² +аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a+b)(a² –аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

p³ + g³ = (p + g)(p²  – pg + g²);

8 – a³ =  2³ – a³ = (2 – a)(4 + 2a + a²);

c³ + 8x³ =  c³ + 2³x³ = (c + 2x)(c² - 2xc + 4x²);

1 – a⁶ =  1³ – (a²)³ = (1 – a²)(1 + a² + a⁴);

a³ + c⁶ = a³ +(c²)³  =  (a + c²)(a² - ac² + c⁴);

27 + a³b³ = 3³ + a³b³  = (3 + ab)(9 - 3ab + a²b²);

p³x⁶  + 1 = (px² + 1)(p²x⁴ - px² + 1);

27m³ + n⁶ = (3m + n²)(9m² - 3mn² + n⁴);

a³c³ +27x³ = (ac + 3x)(a²c²   - 3acx + 9x²);

– c⁶ + 27x³ = (3x - c²)(9x² 3xc² + c⁴);

a⁶c⁹ - 27x³ = (a²c³ - 3x)(a⁴c⁶ + 3xa²c³ + 9x²).

а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³+а²b+аb² + b³);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵– b⁵= (a–b)(a⁴+а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴–а³b + а²b² –аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ – bⁿ= (a–b)( a^n-1+а^n-2b + а^n-3b² +… +а²b^n-3 + аb^n-2 +b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

(a  b)⁰ = 1;

(a  b)¹ = a  b

Квадрат  двочлена:

(a + b)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

4 + 4b + b² = 2² + 2∙2b + b² = (2 + b)²;

49 – 14b + b² = 7² – 2∙7b + b² = (7 – b)²;

64 + 16b + b² = 8² + 2∙8b + b² = (8 + b)²;

400 – 40b + b² = 20² – 2∙20b + b² = (20 – b)²;

4 + 12b + 9b² = 2² + 2∙2∙3b + 3²∙b² = (2 + 3b)².

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

 (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

27 + 27b + 9b² + b³  = 3³ + 3∙3²b + 3∙3b² + b³ = (3 + b)³;

1 + 3m + 3m² + m³  = 1³ + 3∙1²m + 3∙1∙m² + m³ = (1+m)³ ;

64  – 48c + 12c² – c³  = 4³ – 3∙4²c + 3∙4c² – c³ = (4 – c)³;

8 – 12n + 6n² – n³  = 2³ – 3∙2²n + 3∙2n² – n³ = (2 – n)³ .

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a  b)⁴ = a⁴  4a³b +6a²b²  4ab² + b⁴;

(a  b)⁵ = a⁵  5a⁴b +10a³b² 10a²b³ +5ab⁴  b⁵;

(a  b)⁶= a⁶  6a⁵b +15a⁴b² 20a³b³ +15a²b⁴  6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n

аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1 - а^n-2b + а^n-3b² -… + а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b = 1, тоді

a²ⁿ⁺¹ + 1= (a + 1)( a^n-1 - а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

а³ + b³+ c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² +c² – аb – bc –ac);

(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2аb + 2bc + 2ac.

Завдання для самостійного опрацювання

1 рівень

1.Довести:

z² + 7z=z(z+7);

2y² – 9y=y(2y-9);

21x² + 7x=7х(3х+1);

18n² – 9n=9n(2n-1);

а² - 1 = (a+1)(a-1);

1-m² = (m+1)(1-m);

а² - 4 = (a+2)(a-2);

9-4m² = (2m+3)(3-2m);

p² + 6p + 9= (p +3)(p +3);

d² – 8d + 16= (d - 4)(d - 4) ;

9x² - 12x + 4= (3х -2)(3х -2);

Розкласти на множники:

35q – 35p;  

 50qt – 75wpt;  

100m² – 16n²;  

k ² – m² + 4(k + m)²;

 m⁴ – 16.

2 рівень

Довести:

4x - x³=-х(х+2) (х-2)

9x²-x⁴=-х²(х+3) (х-3)

x⁵- 8x²=х²(х-2) (х²+2х+4)

x³-x⁶=х³(1-x) (х²+х+1)

9a⁴-4a² =a²(3a+2)(3a-2);

x² + 5x + 4= (х +1)(х +4)

x² + 6x + 5= (х +1)(х +5)

x² + 7x + 6= (х +1)(х +6)

x² - 7x - 8= (х +1)(х -8)

x² +9x +8= (х +1)(х +8)

3 рівень

Обчислити:

 (2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) -2³²

(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)(3⁸+1) - 3¹⁶

(5-1)(5+1)(5²+1)(5⁴+1)(5⁸+1)(5¹⁶+1) -5³²

(4-1)(4+1)(4²+1)(4⁴+1)(4⁸+1)(4¹⁶+1) -4³²

Довести:

-6x² +19x - 15= (2х -3)(5 -3х)

x² +10x + 25- = (2х -3)(5 -3х)

Розв'язати рівняння, використовуючи  розклад  на множники:

а) x² + x = 0;  64y² - 25y = 0;   0,04z³ -  0,01z = 0;    a³ -  a⁵ = 0;   

 9z³ -  4z = 0;    36a³ - 144a⁵ = 0;   

б) 0,4x² – 6,4 = 0;    0,9y² – 3,6 = 0;    9 – 81z²  = 0;    81y² – y⁴ = 0;    0,16z⁴ – 0,81z²  = 0;   

в) 3x² + 4x = 0;    5y² - 6y = 0;    – 3z³ + 27z = 0;   5y³ - 125y = 0;    – 24z² – 72z = 0;       

г) x³ – 4x = 0;  49y³ – 9y = 0;   4z³ – 25z = 0;  64x³ – 4x = 0;   -27y⁴ – 9y² = 0;   

 0,04z³ – 0,25z = 0; 

д) y⁴ - 49y² = 0;      6,4y⁴ – 12,5y = 0;   x² +2x +1 = 0;   4x² - 4x +1 = 0;     8z⁴ + 27z = 0.

Доведіть, що при будь-якому  натуральному значенні змінної  вираз:

а) (m + 1)² – (m – 1)² ділиться на 4;

б) (2m + 3)² – (2m – 1)² ділиться на 8.

в) (k + 2)² – (k - 2)² ділиться на 8;

г) (3m + 1)² – (3m- 1)² ділиться на 12.

д) (4m +3)² – (4n-3)² ділиться на 48;

е) (5k + 1)² – (2k - 1)² ділиться на 7;

є) (5m + 2)² – (5m - 2)² ділиться на 40;

 ж)  (9k + 6)² – (7k - 6)² ділиться на 4;

з) (7k - 2)² – (2k - 7)² ділиться на 5;

и) (7n- 2)² – (2n - 7)² ділиться на 9.

 4. Доведіть, що:

а) (2m – 3)² = (3 – 2m)²;     б) (–2t– 3)² = (3 + 2t)²;    в) (– a – b)(a + b)  = – (a + b)²;

г) (– c – d)³ = – (c + d)³;    д) (m – n)³ = – (m – n)³;    е) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. 

Відомо, що x + y = 0,  xy = – 4.  Обчислити вирази:

1) yx² + xy²;   y²x⁴ + x²y⁴;   x³ + y³;    x² + y²;

2) x⁴ – y⁴;   (x  + y)³;   (x – y)³;  уx³ + хy³.

7. Використовуючи формули скороченого множення, розкладіть на множники многочлени і знайдіть корені рівняння:    

а) 9 + 24b +16b² = 0;      (4 + a)² – 9 = 0;     (9 – k)² – 25k²= 0; 

б) (1 – n)² – 81n²= 0;      49z² – 100v²;  64a² – 900b²;

в) 4900z⁴ – 2500z²= 0;         y³ + 1000= 0;          8 - 125x³= 0;      

г) m⁴ – 16= 0;         n⁶ – 1= 0;       m⁸ – 1= 0;          x² – y² – zx – zy= 0;      

д) x² – 4 – ax – 2a= 0;       25 - (4t⁴ – 4y² – 1) = 0;        

у) 3a² – 18a + 27= 0;        r³  –  4r + 16 – 4r² = 0;      49x² - (5x + 1)²= 0;      

є) (3 - 2u)² + 2(3 - 2u) + 1= 0;    (2 + t)³  - t³= 0;   (r - 1)³ + (r + 1)³= 0.  

4 рівень

Довести:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a + b - c)² = a² + b² + c² + 2аb - 2bc -2ac;

(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2аb + 2bc -2ac;

д) (a – b)³  + (b – c)³  + (c – a)³  = 3(a – b)(b – c)(c – a);

е) (a + b)³ + (b + c)³ + (c + a)³ = 3(a + b)(b + c)(c + a) + 2(а³ + b³ + c³ -3abc);

є) (a  b)⁴ = a⁴  4a³b + 6a²b²  4ab² + b⁴;

ж) a² + (а – 1)² + (а(а – 1))² = (а² – а + 1)²;

з) а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³ + а²b + аb² + b³).

Довести:

xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.

xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y), де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння

  ak² + bk + c = 0.

Довести:

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

Довести:

a⁴+a²+1=(a²+a+1)(a²-a+1);

q⁸+q⁴+1=(q²+q+1) (q²-q+1)(q⁴-q²+1);

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

Довести:

х³(х²-7)² -36х =x(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)(x-3);

m³+9m²+11m-21=(m-1)(m+7)(m+3);

p³+5p²+3p-9=(p-1)(p+3)²;

m⁴-10m³+27m²-14m+2=(m²-4m+1)(m²-6m+2);

m⁴-12m³+43m²-42m+6=( m²-6m+1)( m²-6m+6);

y¹⁰+y⁵+1=(y²+y+1)(y⁸-y⁷+y⁵-y⁴+y³-y+1);

z⁵ⁿ+zⁿ+1=(z²ⁿ+zⁿ+1) (x³ⁿ-z²ⁿ+1);

Довести:

x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²+3xyz=(x+y+z)(xy+zy+xz);

x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²+2xyz=(x+y)(x+z)(x+z);

x⁴+ y⁴+z⁴-2x²y²-2x²z²-2y²z²=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z);

8x³(y+z)-y³(z+2x) –z³(2x-y)=(y+z)(2x-y)(2x+z)(2x+y-z);