Довідник. Формули сум та скороченого множення

Властивості степенів з цілим показником

аⁿa^m=a^n+m;    аⁿ:a^m=a^n-m;     (аⁿ)^m=a^nm;     а⁰=1;     а^-n=1:aⁿ;    а=а^0,5a^0,5=1a¹ =(a^0,5)²;

(ab)^m = a^mb^m ;  a^{– m}b^{– m} =(ab)^-m;         a^m:b^m = (a:b)^m = b^{– m} a^{– m} =(b:a) ^{– m}       

   

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)( a² + b²);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ – bⁿ = (a–b)( a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді  аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1;        (a±b)¹ = a±b;  1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n 

Квадрат  двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і сума трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

Три способи запису квадратного тричлена

ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х - 0,5b:a)² – 0,25D:a.

Дискримінант D = b² – 4ac.  Два корені:   х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),  х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).   Координати вершини  квадратичної  параболи: х_в = - 0,5b:a;  у_в =  - -0,5b:a.

   xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.                xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

Якщо b² ‒ 4ac – невід’ємний,  то ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y),

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння  ak² + bk + c = 0.

Завдання  1

1)    Чи вірно, що 1=0,25(m²+1)² - 0,25(m²-1)²?  

2)    Чи вірно, що m=(m+0,25)² - (m-0,25)²?

3)    Чи вірно, що m²=0,25(m²-1)²+0,25(m²+1)² ?  

4)    Чи вірно, що m²=0,25(m²+1)²-0,25(m²-1)² ?

5)    Чи вірно, що mⁿ=0,25(mⁿ+1)²-0,25(mⁿ-1)² ?  

Завдання 2

1)    Чи вірно, що ax² + bx + c=m(x-k)²+p(x-q)²?

2)    Чи вірно, що ax² + bx + c=m(x-k)²+p(x-q)² +u(x-v)²?

3)    Чи вірно, що (х – m)(х – m - 2) + 1 = (х – m - 1)²?

4)    Чи вірно, що 1+ (n-1)n(n+1)(n+2)=(n²+n-1)²?

5)    Чи вірно, що (х-а)(х-(а+1))(х-(а+2))(х-(а+3))+1 = ((х²-(а +4)х+ (а+4))²?

6)    Чи вірно, що 16+(n-2)n(n+2)(n+4)=(n² + 2n- 4)² ?  

7)    Чи вірно, що 81+(n-3)n(n+3)(n+6)=(n² + 3n- 9)²?

⁸⁾       Чи вірно, що 256+(n-4)n(n+4)(n+8)=(n² + 4n- 16)²?

9)    Чи вірно, що k⁴+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n² + kn- k²)²?

10)    Чи вірно, що k⁴+(n+k)(n+2k)(n+3k)(n+4k)=(n² + 5kn+5k²)²? 

11)    Чи вірно, якщо m+k=p+q, тоді

   |mkpq-(0,5km+0,5pq)²|+(x+k)(x+m)(x+p)(x+q))=

=(x² - (k+m)x+0,5km+0,5pq)²?