Розвиток компетенцій. Властивості чисел

1.70 . Властивості натуральних чисел

Розподілити  сорок тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1)    Усі прості числа починаючи з 7 можна подати у вигляді 6∙n+1 або 6∙n+5.

2)    Сума будь-якої кількості перших непарних чисел натурального ряду рівна квадрату числа доданків.

3)    Парне число можна подати, як суму двох простих чисел.

4)    Непарне число можна подати, як суму трьох простих чисел.

5)    Сума будь-якої кількості послідовних непарних чисел натурального ряду рівна різниці квадратів двох  чисел.

6)    Сума перших n+1 натуральних чисел рівна сумі  n наступних натуральних чисел.

7)    Сума  n перших парних чисел рівна добутку  n(n+1).

8)    Сума  n перших натуральних чисел рівна половині добутку  n(n+1).

9)    Сума квадратів  n перших натуральних чисел рівна квадрату деякого натурального числа.

10)        Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна двом.

11)        Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна трьом.

12)        Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна шести.

13)        Сума кубів  трьох послідовних натуральних чисел рівна кубу натурального числа.

14)        Сума кубів  n(більше двох)  різних натуральних чисел рівна кубу натурального числа.

15)        Сума кубів  n послідовних натуральних чисел рівна різниці квадратів натуральних чисел.

16)        Будь-яке просте число дорівнює добутку своїх цифр в десятковій системі числення.

17)        Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму двох його дільників чисел.

18)        Якщо число непарне, то його можна записати як суму  парного і непарного дільників числа.

19)        Якщо число парне і дорівнює сумі своїх дільників, то воно рівне сумі кубів n перших чисел.

20)        Сума кубів  n послідовних парних чисел рівна подвоєному квадрату  числа  n( n+1) .

21)        Сума кубів  n послідовних непарних чисел рівна квадрату  числа  n²( 2n²+1) .

22)        Сума кубів  n перших натуральних чисел рівна квадрату суми цих чисел.

23)        Кожне натуральне число рівне сумі квадратів двох чисел і одного простого числа.

24)        Якщо три числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді добуток цих чисел парний.

25)        Якщо три послідовні числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  меншого числа рівний  сумі двох інших.

26)        Якщо три послідовні числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  середнього числа рівний  подвоєній сумі двох інших.

27)        Якщо три взаємно прості числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  меншого числа рівний  сумі двох інших.

28)        Якщо три взаємно прості числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді добуток трьох чисел ділиться на 60.

29)        Якщо два взаємно прості числа n i m  утворюють три числа n² + m² , 2mn, n² - m² , тоді  квадрат  більшого числа рівний  сумі квадратів двох інших.

30)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  квадрат  більшого числа рівний  сумі квадратів двох інших.

31)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  квадрат  середнього числа рівний подвоєній сумі квадратів двох інших.

32)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  куб  найбільшого числа рівний сумі квадратів двох інших.

33)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n/2)²-1 , (n/2)²+1, тоді  куб  найбільшого числа рівний сумі квадратів деяких двох чисел.

34)        Якщо чотири числа  утворюють рівність n³ + m³ + k³= p³, тоді ці натуральні числа послідовні.

35)        Якщо число виду 4∙k+1, то його можна подати, як  n² + m².

36)        Якщо складене число розкладається на прості числа виду 4k+1, то його можна подати, як  n² + m².

37)        Якщо число має вид 4∙k+3, то його не можна подати, як  n².

38)        Якщо число р — просте, тоді число виду а^р - а ділиться на р.

39)        Будь-який квадрат натурального числа  n  можна подати як суму двох доданків, де перший доданок — це сума  n перших натуральних чисел, а другий — це сума  n-1 перших натуральний чисел.

40)        Будь-який квадрат непарного числа  n  можна подати у вигляді 4k+1.

1.71 Властивості  НСК(m, n) та НСД(а, b)

Розподілити  20 тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1)    Усі натуральні числа, які діляться на 30 можна подати у вигляді 2∙15n або 2∙3∙5n, де  n  − натуральне число.

2)    Найменше натуральне число т, яке ділиться на кожне з чисел а і b без остачі, тобто найменше спільне кратне цих чисел (НСК(а, b)), завжди можна знайти таким чином: розкласти кожне число на прості множники, потім, взявши розклад одного із них, помножити його на відсутні прості множники,  які зустрічаються в розкладі другого числа.

3)    Найбільше натуральне число т, на  яке ділиться на кожне з чисел а і b без остачі, тобто найбільший спільний дільник цих чисел (НСД(а, b)), завжди можна знайти таким чином: розкласти кожне число на прості множники, потім, виписати з двох  розкладів спільні множники, до речі,  кожний зі спільних простих множників треба взяти з найменшим показником, який зустрічається в обох розкладах, і помножити.

4)    Добуток чисел а і b дорівнює добуткові їх найбільшого спільного дільника на найменше спільне кратне аb= НСК(а, b)∙НСД(а, b)

5)    Найменше спільне кратне двох чисел дорівнює 3024, а їх найбільший спільний дільник 4. Друге число має лише три дільники, якщо перше дорівнює 28.

6)    Найменше спільне кратне трьох чисел дорівнює 5544.  Існує декілька третіх чисел, якщо перші два дорівнюють 72 і 168.

7)    Два перші числа дорівнюють 165 і 156. Множину третіх чисел складають тільки непарні числа, якщо найменше спільне кратне всіх трьох чисел дорівнює 25740.

8)    Найменше натуральне число т, яке ділиться на кожне з чисел а і b, тобто НСК(а, b) ділиться на їхній найбільший спільний дільник, тобто ділиться на НСД(а, b).

9)    Якщо т ділиться на кожне з двох чисел а і b, то т ділиться і на їх найменше спільне кратне, тобто НСК(а, b).

10)                      Найменше спільне кратне трьох чисел n-1, n, n+1 (де n — натуральне число) це добуток цих чисел.

11)                      Частки від ділення найменшого спільного кратного  на дані числа є взаємно прості.

12)                      Якщо число 3х+2у ділиться на 19, де х і у натуральні числа, то 8х-у не ділиться на 19.

13) Найменше спільне кратне двох чисел 5040, а їх найбільший  спільний дільник 48. Множину таких пар чисел складають лише парні числа.

14)                      Найменше спільне кратне двох чисел 462, а їх найбільший спільний дільник 21. Множину таких пар чисел складають лише непарні числа.

15) Всього існує дві  пари чисел, для яких  добуток дорівнює 840, а їх найбільший спільний дільник дорівнює 2.

16) Сума двох чисел 168, а їх найбільший спільний дільник 24. Множину таких пар чисел складають лише числа різної парності, тобто одне з них парне число, а друге – непарне число.

17) Сума двох чисел 667, а їх найбільший спільний дільник 29. Множину таких пар чисел складають лише числа різної парності, тобто одне з них парне число, а друге – непарне число.

18)                      З космодрому одночасно запустили три супутники Землі. Перший має період обертання 1 год. 20 хв., другий — 1 год. 45 хв., а третій — 2 год. 20 хв. Тоді через 28 год − це найближчий час, коли вони знову будуть всі три разом над космодромом?

19)                      Три автобуси відправляються з автостанції о 7 год. ранку в трьох напрямах і повертаються: перший через 2 год. 15 хв. і знову відправляється через 15 хв.; другий — через 1  год. 45 хв. і знову відправляється через 15 хв.; третій — через 1  год. 30 хв. і знову відправляється через 10 хв. Тоді 12.00 −  це найближчий час, коли вони знову одночасно виїдуть з автостанції?

20)                      У деякий час планети Венера і Меркурій займають певне положення на небі відносно зір. Через 19800 діб обидві планети будуть знову в тому ж положенні відносно нерухомих зір, якщо Меркурій обертається навколо Сонця за 88 діб, а Венера — за 225 діб?

Задачі для юних математиків

Задачі  для  юних математиків.

Задача 1. (7-8 клас). 1)Скільки способів укладки ящиків у фургон, що має форму прямокутного паралелепіпеда розміром 4х4х2,  якщо ящики двох видів: 1х1х1 та  2х2х2?  Звертаємо увагу на те, що у кожному способі укладки сума об’ємів усіх ящиків двох видів  рівна об’єму фургона.

(5-6 класи). 2)Скільки способів є укладки дитячої площадки прямокутної форми, розміром 4х4,  за допомогою квадратних плиток двох видів: 1х1   та 2х2? Звертаємо увагу на те, що у кожному способі укладки сума площ усіх плиток двох видів  рівна площі дитячої площадки.

Розв’язання: Для задач 1 та 2 запропонуємо одну схему  розв’язування.

Достатньо зафіксувати в основу прямокутного паралелепіпеда, тобто прямокутник 4х4, і  одну його вершину, щоб  перерахувати всі способи такої укладки. Наводимо усі способи укладки ящиків(плиток)  за допомогою малюнків.

1					2					3					4					5
6					7					8					9					10
11					12					13					14					15
16					17					18					19					20
21					22					23					24					25

26					27				28					29				30
31					32				33					34				35

Відповідь: 35 способів.

Задача 2.( 7-9 клас) У середині білого паперу у клітинку, розміром   8х8, суцільно замалювали  декілька сусідніх клітинок у помаранчевий колір так, що утворилася одна замкнена клітинкова область, яка не містить замальовані клітинки на краях паперу. (Будь-які дві клітинки назвемо сусідні, якщо вони мають одну спільну сторону.) Потім перефарбували усі білі межові з помаранчевими клітинки у зелений колір. (Будь-які дві клітинки назвемо межові, якщо вони мають хоча б одну спільну точку). Яка найменша непарна кількість найкоротших ламаних, може бути проведена на такому папері,  якщо будь-яка ламана має один кінець у середині однієї помаранчевої клітинки, а другий кінець ламаної  -  у  середині  зеленої клітинки, при цьому  кожна зелена клітинка містить лише один  кінець  ламаної.

Розв’язання:

1. Якщо помаранчева клітинка є межовою до восьми зелених клітинок, то найменша кількість найкоротших  ламаних рівна кількості межових кліток, отже, у цьому випадку m=8 ламаних.

2. Якщо дві помаранчеві клітинки є межовими до десяти зелених клітинок, то найменша кількість найкоротших ламаних рівна кількості межових кліток, отже, у цьому випадку m=10 ламаних.

3. Якщо три помаранчеві клітинки є межовими до дванадцяти зелених клітинок, то маємо два способи виділення помаранчевої області. А найменша кількість найкоротших ламаних в обох випадках рівна кількості межових кліток, отже, у цьому випадку m=12 ламаних.

4. Якщо чотири помаранчеві клітинки, то для випадків, межовими є  чотирнадцять зелених клітинок, то найменша кількість найкоротших ламаних рівна кількості межових кліток. Отже, у цьому випадку m=14 ламаних. У випадку, коли помаранчева область є квадратом 2х2(див. Мал. 8), то найменша кількість найкоротших ламаних рівна 12.

 Мал.1

5. Якщо п’ять помаранчевих клітинок, то у випадку, що зображено на малюнку 1 маємо

15 межових клітинок зеленого кольору. Ці 15 клітинок визначають 15 кінців  найкоротших ламаних, що відповідають умові задачі.

Зрозуміло, що при збільшенні кількості клітинок, які суцільно фарбуються в помаранчевий колір, отримаємо більшу, ніж 15 межових клітинок. Зазначимо, що у випадку, коли зафарбовано К помаранчевих клітинок, а межових клітинок зеленого кольору N, то найменша  кількість найкоротших ламаних рівна сумі усіх межових зелених клітинок  і усіх помаранчевих клітинок, які сусідні тільки з помаранчевими клітинками.

Відповідь: 15 ламаних.

Задача на виведення рекурсивних формул.

Задача 3. (9-11 клас). У проектувальників блочного будинку є можливість на одному поверсі закласти у проект різні квартири. В планшеті ці квартири мають форму квадрата, розмір за масштабом проекту якого 1х1 та форму прямокутника з розміром 1х2. Скількома способами можна викласти проект першого поверху блочного будинку, якщо цей поверх  має форму прямокутника 2х5 за масштабом проекту? Блок квартири, що на планшеті позначений розміром 1х2, на заводі виготовляють так, що його можна  поставити лише довгою панеллю вздовж  довгої панелі будинку.

Розв’язання.

 Побудуємо  рекурсивні співвідношення для знаходження кількості способів викладення поверху у випадку, якщо він має форму прямокутника 2 х N, де N – довільне натуральне число.

Розглянемо праву нижню кутову клітинку. Ця клітинка може бути покрита або блоком 1´1, або 1´2. Таким чином, всі покриття поверху можна розбити на дві  підмножини – з блоком 1´1 в правому нижньому куті та з блоком 1´2. Позначимо через  шукану кількість покриттів поверху 2´n. Тоді можна записати , де  - кількість покриттів з блоком 1´1 в правому нижньому куті (тобто з вирізаною кутовою клітинкою),  - з блоком 1´2 (див. мал.10).

                       

                      Мал. 10

Розглянемо праву верхню клітинку покриття з блоком 1´1 в нижньому куті. Ця клітинка також може бути покрита або блоком 1´1, або блоком 1´2. В першому випадку отримаємо покриття 2´(n-1) без вирізаної кутової клітинки, а в другому – покриття 2´(n-1) з вирізаною кутовою клітинкою. Маємо (див. мал.11).

                       

                                       Мал. 11

Розглянемо праву верхню клітинку покриття з блоком 1´2 в нижньому куті. Ця клітинка також може бути покрита або блоком 1´1, або блоком 1´2. В першому випадку отримаємо покриття 2´(n-1) з вирізаною кутовою клітинкою, а в другому випадку – покриття 2´(n-2) без вирізаної кутової клітинки. Маємо  (див.мал.13).

                                  Мал. 13.

Таким чином, отримали систему таких  рекурентних співвідношень:

               (1)

Зрозуміло, що можна з системи (1) вилучити змінну h(n), якщо підставити третє рівняння в перше. Отримаємо нову систему рекурентних співвідношень:

                 (2)

За рекурентними співвідношеннями (2)   можна знайти  розв’язання задачі у випадку, якщо поверх має форму прямокутника 2 х N, де N – довільне натуральне число.

Але ще необхідно знайти .

Зрозуміло, що легко перевірити для  (див. мал.14).

Мал. 14. Всі покриття поверху розміром 2´2.

Створимо таблицю, в яку запишемо знайдені значення (для кожного n=1,2,...,10, обчислюємо спочатку g, потім f).

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f(n)	1	4	9	25	64	169	441	1156	3025	7921
g(n)	1	2	6	15	40	104	273	714	1870	4895

Відповідь: 64 способи.

Задача 4.(9-11 клас) Задумайте два натуральних числа, перше з них - парне. Перше піднесіть до квадрату і розділіть на 4. До цього результату додайте квадрат другого числа та добуток задуманих чисел. З отриманого числа знайдіть квадратний корінь. Якщо ви все правильно виконали, то ваш результат – є деяке натуральне число К . Тепер, спочатку від К відніміть половину першого числа, а потім додайте до К цю половину. Два отриманих у такий спосіб числа продиктуйте юному математику Петрику, кожне окремо. Після цього Петрик з розумним виглядом називає числа, які ви задумали. Нехай тепер задумає два натуральні числа сам Петрик(перше з них –парне), і виконає послідовно ті самі ж дії, що виконували ви, а згодом повідомить вам два отриманих числа.  Знайдіть спосіб відгадування двох чисел, які задумав Петрик. Наведіть власний приклад та вкажіть на ньому спосіб відгадування задуманих чисел.

Розв’язання:

Хай ми маємо два отриманих Петриком натуральні числа c та  d. Тоді будемо вважати,  що Петрик задумав числа  2к та  m. Якщо ви виконали над 2к та  m  послідовні дії за умовою задачі, то отримаєте два числа, які повідомив вам Петрик:

                                            

Отже, 2к – це задумане перше натуральне число,  його треба шукати, як різниця двох отриманих Петриком натуральних чисел, тобто d-с.

Тепер знайдемо суму:   с+d = 2k+2m, або с+d = d - с +2m. Звідси, отримаємо m=с .

Наведемо приклад: Якщо Петрик повідомив нам, перше число с=17, а  друге число d = 25,  то  задумані  числа  8 та 17.